Node potensiell metode

Den node potensiell metode (også nodespenning analyse eller node adgang metode) er en fremgangsmåte for nettverksanalyse i elektroteknikk . Denne metoden kan brukes til å bestemme nodepotensialene til et elektrisk nettverk som består av lineære komponenter .

Anvendelse av prosedyren

Metoden brukes vanligvis til å bestemme en strøm i en gren. Sammenlignet med grenflytanalyse sparer denne metoden like mange ligninger som nettverket har uavhengige masker. Alle trinnene til verdien du leter etter, vises nedenfor. Denne prosedyren gjelder også for komplekse og magnetiske nettverk, forutsatt at bare lineære komponenter brukes.

Definer nodepotensialer og referansenoder

I et nettverk med k noder er det k - 1 uavhengige node ligninger. Ingen ligning må settes opp for en node, siden ligningen kan settes opp fra ligningene til de andre nodene og derfor vil være lineært avhengig. Denne noden er derfor referansenoden med nullpotensial (bakken) og kan velges fritt. Noden bør hensiktsmessig være på en gren med det etterspurte spenningsfallet, siden et nødvendig potensial allerede er etablert og ligningssystemet må løses en gang til. Alle andre potensialer er fremdeles ukjente og er identifisert med et unikt variabelnavn.

Konvertering av motstandene og spenningskildene

Grenstrømmene uttrykkes som produktet av grenledningsevnen og nodepotensialforskjellen. Derfor blir grenmotstandene erstattet av konduktansverdiene, og spenningskildene konverteres til erstatningsstrømkilder i henhold til Norton-teoremet .

${\ displaystyle G_ {ij} = {\ frac {1} {R_ {ij}}}$

${\ displaystyle I_ {q_ {ij}} = U_ {q_ {ij}} \ cdot G_ {ij}}$

Ideelle spenningskilder uten motstand i grenen kan ikke transformeres. Mer om dette i avsnittet om behandling av ideelle spenningskilder .

Etablere matrisen til det lineære ligningssystemet

Konduktansematrisen er satt opp som følger:

• På hoveddiagonalen med er summen av konduktansverdiene til alle grener som er koblet til node i.${\ displaystyle \ forall \, i, j}$${\ displaystyle \! \, i = j}$
• De andre stedene med den negative summen av ledningsevneverdier mellom nærliggende noder i og j (koplings konduktansverdier verdier). Hvis det ikke er noen direkte forbindelse mellom to noder, angis et null her.${\ displaystyle \ forall \, i, j}$${\ displaystyle i \ neq j}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} G_ {11} & - G_ {12} & ... & - G_ {1n} \\ - G_ {21} & G_ {22} & ... & - G_ {2n } \\ ... & ... & ... & ... \\ - G_ {n1} & - G_ {n2} & ... & G_ {nn} \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begynn {pmatrix} \ varphi _ {1} \\\ varphi _ {2} \\ ... \\\ varphi _ {n} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} I_ {1} \\ I_ {2} \\ ... \\ I_ {n} \ end {pmatrix}}}$

Konduktansematrisen er en symmetrisk matrise . Følgelig er de motsatte koblingslederverdiene (med hensyn til hoveddiagonalen) identiske med . Dette må være tilfelle fordi disse koblingsverdiene er lokalisert mellom de samme nodene i begge tilfeller. I motsetning til den positive totale konduktansen på hoveddiagonalen, er alle koblingsledere negative. ${\ displaystyle \ left (G_ {ij} = G_ {ji} \, \ forall \, i, j \ right.}$${\ displaystyle \ left.i \ neq j \ right)}$

I vektoren til nodepotensialene må den samme sekvensen følges som på hoveddiagonalen til ledningsmatrisen.

I vektoren av nodestrømmene på den andre siden av ligningssystemet er summen av de ekvivalente kraftkildene som den respektive noden er koblet til. Innkommende strømmer er positive, utgående strømmer er negative totalt (det fungerer også omvendt, det må bare gjøres ensartet for alle noder). Hvis ingen kilder er koblet til noden, angis et null.

Behandling av ideelle spenningskilder

Ideelle spenningskilder (uten indre / grenmotstand) plassert i en gren mellom to noder krever en spesiell prosedyre. Spenningen mellom de to nodene er da lik kildespenningen, og det ene potensialet kan beregnes direkte fra det andre ved hjelp av den konstante verdien av kildespenningen. Det er to måter tilgjengelig.

Innfør strømstyrken som ukjent

Det bør bemerkes i hvilken retning spenningen til kilden synker:

${\ displaystyle \ varphi _ {\ text {high}} - \ varphi _ {\ text {low}} = U_ {q _ {\ text {ideal}}}}$ med spenningsfall fra "høy" node til "lav" node

Ligningen transformeres i henhold til potensialet for å erstattes og settes inn i ligningssystemet. Hvis en av nodene er referansenoden, må selvfølgelig potensialet til den andre erstattes. I ligningssystemet multipliseres begrepet som brukes i hver linje med de ledende verdiene i den tilhørende kolonnen. Begrepene med flyttes til siden av de nåværende kildene. ${\ displaystyle U_ {q _ {\ text {ideal}}}}$

Den videre prosedyren avhenger nå av plasseringen til referansenoden. Alle linjer med de erstattede potensialene hvis ideelle spenningskilde er direkte koblet til referansenoden, må slettes. Dette reduserer graden av ligningssystemet med en med hver ideelle spenningskilde ved referansenoden. For alle andre ideelle spenningskilder introduseres en ukjent grenstrøm i deres gren. Disse føres først inn på siden av strømkildene i henhold til samme oppsett som strømkildene. Strømning lagt til, strømming trukket. Til slutt blir de ukjente grenstrømmene ført til venstre. For ideelle spenningskilder uten direkte forbindelse til referansenoden blir graden av ligningssystemet følgelig ikke redusert, siden en ukjent strøm tillegges for hvert potensial som går tapt.

Bruk supernoder

Den ideelle spenningskilden er omgitt av et (tenkt) deksel (se grafikk). For denne supernoden, som fire grener er koblet til i grafikken, er den nåværende ligningen satt opp nøyaktig som for en enkel node, dvs. her

${\ displaystyle G_ {1} (- \ varphi _ {2} -U_ {q}) + G_ {3} (\ varphi _ {1} - \ varphi _ {2} -U_ {q}) + G_ {5 } (\ varphi _ {1} - \ varphi _ {2}) + G_ {4} (- \ varphi _ {2}) = 0.}$

Siden, i motsetning til metoden forklart ovenfor, ingen ukjent strømstyrke er nødvendig for kilden, har ligningssystemet en mindre ligning per ideell spenningskilde.

Beregn ønsket potensial

Før du beregner en grenstrøm, må potensialene til de to tilstøtende nodene (φ _i og φ _j ) være kjent. For å gjøre dette løses ligningssystemet for et av potensialene. Dette gjøres enten ved hjelp av Cramers styre eller ved hjelp av den Gaussiske eliminasjonsmetoden . Hvis en av dem er referansenoden, trenger bare ett potensial å beregnes. Forgreningsspenningen beregnes vanligvis ut fra forskjellen i nodepotensialene på en slik måte at den resulterende forgreningsspenningen faller i den antatte retningen for den søkte strømmen. Verdien av en mulig tilstedeværende strømkilde i grenen må være etter at maskesettet med grengrensspenning skal trekkes fra når deres spenning i retning av grensspenning synker, eller tilsettes hvis den går i motsatt retning. Resultatet blir deretter delt med grenmotstanden eller multiplisert med grenledningen for å oppnå den aktuelle strømmen. En positiv grenstrøm flyter i retning av spenningsfallet til nodepotensialforskjellen, en negativ grenstrøm i motsatt retning.

${\ displaystyle I_ {ij} = {\ frac {\ varphi _ {i} - \ varphi _ {j} \ pm U_ {q_ {ij}}} {R_ {ij}}} = \ left (\ varphi _ { i} - \ varphi _ {j} \ pm U_ {q_ {ij}} \ høyre) \ cdot G_ {ij}}$

eksempel

Se etter i kretsen vist til høyre. Dette beregnes nå trinn for trinn ved hjelp av nodepotensialmetoden. ${\ displaystyle I_ {6}}$

Definer nodepotensialer og referansenoder

For raskere beregning blir en node som grenen til er koblet til referansenoden med null potensial. I dette eksemplet ble avgjørelsen tatt på den nedre noden. De resterende tre nodene er merket , og . Som i tilfellet med referansenoden, bør det bemerkes at flere viste noder er praktisk talt bare en node hvis det ikke er noen kretselementer på grenene mellom dem. ${\ displaystyle I_ {6}}$${\ displaystyle \ varphi _ {1}}$${\ displaystyle \ varphi _ {2}}$${\ displaystyle \ varphi _ {3}}$

Konvertering av motstandene og spenningskildene

Det er to spenningskilder og en strømkilde i kretsen. Spenningskildene blir konvertert til reservestrømkilder som beskrevet ovenfor.

${\ displaystyle I_ {q1} = {\ frac {U_ {q1}} {R_ {3}}}}$ og ${\ displaystyle I_ {q3} = {\ frac {U_ {q3}} {R_ {6}}}}$

Det skal bemerkes at riktig strømretning er trukket inn ved de aktuelle kildene. I tillegg er ikke gjennomstrømningen lenger den samme fordi den nå er delt mellom grenene til og . Etter å ha erstattet motstandene med konduktansverdiene, resulterer den nedre kretsen i bildet. ${\ displaystyle G_ {6}}$${\ displaystyle I_ {6}}$${\ displaystyle G_ {6}}$${\ displaystyle I_ {q3}}$

Etablere et ligningssystem

Ligningssystemet er nå satt opp i matriseform i henhold til reglene nevnt ovenfor.

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} G_ {1} + G_ {2} + G_ {3} + G_ {4} & - G_ {4} & - G_ {3} \\ - G_ {4} & G_ { 4} + G_ {5} + G_ {6} & - G_ {5} \\ - G_ {3} & - G_ {5} & G_ {3} + G_ {5} + G_ {7} \ end {pmatrix }} \ cdot {\ begin {pmatrix} \ varphi _ {1} \\\ varphi _ {2} \\\ varphi _ {3} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -I_ {q1} + I_ {q2} \\ - I_ {q2} + I_ {q3} \\ I_ {q1} \ end {pmatrix}}}$

Beregn ønsket potensial

Siden referansepotensialet allerede er kjent, er det bare potensialet som kreves. Et stort antall løsningsmetoder er tilgjengelige for denne beregningen . ${\ displaystyle \ varphi _ {2}}$

Ved hjelp av det beregnede potensialet blir den søkte strømmen bestemt . Nullpotensialet uttrykkes av. Potensialforskjellen dannes i antatt retning av . Verdien på spenningskilden må legges til differansen i henhold til regelen nevnt ovenfor. ${\ displaystyle I_ {6}}$${\ displaystyle 0V}$${\ displaystyle I_ {6}}$${\ displaystyle U_ {q3}}$

${\ displaystyle I_ {6} = {\ frac {0V- \ varphi _ {2} + U_ {q3}} {R_ {6}}}}$

applikasjon

Knutepotensialmetoden er ideell for datamaskinstøpt beregning av løsningsvektoren, siden dens lineære ligningssystem kan settes opp ved hjelp av en algoritme som er enklere å programmere enn med nettstrømningsmetoden , der nettverket først må søkes for et komplett tre ved hjelp av grafteori. Det danner derfor grunnlaget for de fleste dataprogrammer for analyse av lineære elektriske nettverk. Imidlertid avhenger det optimale valget av nettverksanalysemetoden som brukes, av strukturen til nettverket (antall grener sammenlignet med antall noder) og er i praksis individuelt for hvert nettverk.

Se også

• Metode for nettstrømning
• Kirchhoffs regler
• Nettverksanalyse (elektroteknikk)

litteratur

• Oliver Haas, Christian Spieker: Elektrotekniske oppgaver 1 . Oldenbourg, München 2012, ISBN 3-486-71680-8 , s. 81–103 ( begrenset forhåndsvisning i Google Book-søk). 

Individuelle bevis

1. ^ AR Hambley: Elektroteknikk, Pearsons, se supernoden