Isoperimetrisk problem

Det isoperimetriske problemet med den geometriske variasjonskalkulasjonen spør i sin opprinnelige form, som går tilbake til klassisk Hellas (se problem med Dido ), som danner en lukket kurve med en gitt lengde må ha slik at denne kurven spenner over det største området . ${\ displaystyle \, l}$${\ displaystyle \, F}$

Begrepet brukes også på forskjellige generaliseringer av spørsmålet.

Det klassiske isoperimetriske problemet

Navnet isoperimetrisk betyr på gresk i samme grad . Selv grekerne visste at løsningen på det (klassiske) isoperimetriske problemet er sirkelen, og at dette er en konsekvens av den isoperimetriske ulikheten

${\ displaystyle 4 \ pi F \ leq l ^ {2}}$

er: The likhet gjelder bare for sirkelen (dette er sant og , radius sirkel). ${\ displaystyle l = 2 \ pi r}$${\ displaystyle F = \ pi r ^ {2}}$${\ displaystyle r}$

Det eldste, ufullstendige bevisforsøket ble gjort av Zenodorus i det 2. århundre f.Kr. Gjort. Fullstendig bevis for det veldig troverdig faktum ble først produsert på 1800-tallet. Jakob Steiner ga i 1838 et rent geometrisk bevis på at løsningen (hvis den eksisterer) må være en konveks, symmetrisk kurve. Bare F. Edler (1882) for sletten og Karl Weierstraß og Hermann Amandus Schwarz (1884) for rommet ga fullstendig bevis . I 1902 ga Adolf Hurwitz et enkelt bevis på stykkevis kontinuerlige grensekurver ved hjelp av Fourier-serier. Ytterligere bevis kommer for eksempel fra Erhard Schmidt (1938).

Det er også høyere dimensjonale generaliseringer av det isoperimetriske problemet. For eksempel har kulen det minste overflatearealet i tre dimensjoner av alle overflater som spenner over et gitt volum. Dette kan sees tydelig fra den sfæriske formen på såpebobler, som prøver å gjøre overflatespenningen og dermed overflaten så liten som mulig. Dette ble først bevist matematisk av Hermann Amandus Schwarz i 1884. Kulene til kule i mer enn tre dimensjoner ble bevist av Edgar Krahn i 1925 og for ikke-euklidiske geometrier av Erhard Schmidt.

Relaterte problemer matematiske fysikk er også referert til som isoperimetric problemer, for eksempel formodningen ved Barré de Saint-Venant (1856) som elastiske staver med et sirkulært tverrsnitt har maksimal vridningsstivhet .

Det isoperimetriske problemet med beregningen av variasjoner

I beregningen av variasjoner snakker man mer generelt om følgende problem med et isoperimetrisk problem:

La det være. Vi ser etter en funksjon som funksjonell ${\ displaystyle \ alpha, \ beta, l \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle F}$

${\ displaystyle I (u) = \ int \ limits _ {a} ^ {b} F (x, u (x), u '(x)) {\ rm {d}} x}$

blant alle funksjoner som og også ${\ displaystyle u (x)}$${\ displaystyle \, u (a) = \ alpha}$${\ displaystyle \, u (b) = \ beta}$

${\ displaystyle K (u) = \ int \ limits _ {a} ^ {b} G (x, u (x), u '(x)) {\ rm {d}} x = l}$

møtes, blir ekstrem. I det spesielle tilfellet krever denne randbetingelsen at omfanget av en kurve beskrevet av er konstant. ${\ displaystyle G (x, u (x), u '(x)) = {\ sqrt {1 + u' (x) ^ {2}}}}$${\ displaystyle \, l}$${\ displaystyle u (x)}$

Løsningen på problemet oppstår med Lagrange-funksjonen

${\ displaystyle L = F + \ lambda \, G}$

fra Euler-ligningen

${\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial u}} - {\ frac {d} {dx}} \, {\ frac {\ partial L} {\ partial u '}} = 0.}$

Bevisskisse over det klassiske problemet for flysaken

Vi følger Jakob Steiners bevis nevnt ovenfor.

Steiners argument for områdets konveksitet

Steiner behandlet problemet i to og tre dimensjoner og antok eksistensen av en løsning. I to dimensjoner viste han først at overflaten han lette etter er et konveks sett (det vil si at hver linje som forbinder to kantpunkter ligger helt innenfor overflaten). Hvis dette ikke var tilfelle, ville du ha en situasjon som den i illustrasjonen til høyre: Du kan speile kurven på den sammenkoblede rette linjen og dermed få et større område med samme omkrets. Maksimalt ønsket område må derfor være konveks.

Steiner-problemet kan også reduseres til det faktum at man vurderer konvekse overflater som er avgrenset av et segment AB og kurver med fast lengde mellom punktene A og B. Fordi hvert segment AB som deler omkretsen av det maksimale arealet som søkes, deler også området. Hvis dette ikke var tilfelle, og hvis for eksempel delområdet under segmentet AB var større, kunne det mindre området over den rette linjen erstattes av området under segmentet reflektert ved AB og dermed et område med større innhold med samme omkrets ville oppnås. Problemet reduseres således til å finne en konveks kurve med en gitt omkrets med sluttpunktene A, B på en rett linje AB, slik at arealet mellom kurven og AB er maksimalt.

I et siste trinn beviser Steiner deretter at av alle konvekse kurver over basissegmentet AB med samme omkrets, har halvcirkelen det største innholdet. For når som helst punkt C på kurven, vurder trekanten ACB. Arealet F mellom kurven og segmentet AB er delt inn i området F3 til trekanten ACB og områdene F1 mellom kurven og trekantsiden AC og F2 mellom kurven og siden CB. Nå varierer trekanten ACB ved å skifte B på den rette linjen AB, men avstandene AC, CB forblir de samme. Av alle disse trekantene har trekanten med rett vinkel i C det største arealet F3. Hvis vinkelen i ABC ved punkt C ikke er en rett vinkel, kan kurven erstattes av en av samme omkrets, og området F består av arealet til den rette trekanten og områdene F1 og F2 over trekantsidene AC, CB, deres lengde var uendret. Kurven vi leter etter har rette vinkler til ethvert punkt C på kurven og er derfor en halvcirkel i henhold til Thales 'teorem .

litteratur

• Richard Courant , Harold Robbins : Hva er matematikk? Springer 1973, s. 283 (kort forklaring på Steiners bevis).
• Helmuth Gericke : Om historien til det isoperimetriske problemet. I: Matematiske semesterrapporter. For å opprettholde forbindelsen mellom skole og universitet. Volum XXIX (1982), ISSN  0720-728X , s. 160-187 (med bevis fra Zenodorus og skisse av en variant av Steiners bevis).
• Peter Gruber Om konveks geometri og tallgeometri. I: Hirzebruch et al.: A Century of Mathematics 1890–1990. Vieweg 1990 (historie).
• Hugo Hadwiger : Forelesninger om innhold, overflate og isoperimetri. Springer 1957.
• Robert Osserman : Den isoperimetriske ulikheten. Bulletin AMS, 84, 1978, s. 1182-1238, online .
• Burago , Zalgaller : Geometriske ulikheter. Springer 1988.
• G. Talenti: Standardisoperimetrisk problem. I: Gruber, Wills: Handbook of Convex Geometry. Nord-Holland 1993, s. 73-123.
• Wilhelm Blaschke : sirkel og sfære. 2. utgave, De Gruyter 1956.
• Isaac Chavel: Isoperimetriske ulikheter. Cambridge University Press 2001.

weblenker

• Uni-Magazin Universität Halle om det isoperimetriske problemet. ( Memento fra 3. januar 2015 i nettarkivet archive.today ).
• Hopf, Samelson: Utvalgte kapitler i geometri. Med et kapittel om det isoperimetriske problemet (PDF; 221 kB).
• Viktor Blasjö: Utviklingen av det isoperimetriske problemet. American Mathematical Monthly, bind 112, 2005, s. 526.
• Wiegert: Sirkelens sagacity. En historie med det isoperimetriske problemet. MAA

Individuelle bevis

1. ↑ Anton nokk ( arrangement ): Zenodorus' avhandling om isoperimetric tall, basert på utdrag at aleks Theon og Pappus har gitt oss fra det samme, redigert på tysk av Dr. Nokk. I: Program for det storhertuglige lyceum i Freiburg im Breisgau - som en invitasjon til offentlige eksamener. 1860, supplement, s. 1-35. Digitalisert ressurs fra det bayerske statsbiblioteket .
2. Gust Peter Gustav Lejeune Dirichlet var den første som påpekte eksistensspørsmålet .
3. ↑ Hurwitz: Quelques applikasjoner geometriques des series de Fourier. Annales de l'Ecole Normale, bind 19, 1902, s. 357-408. Beviset finnes for eksempel i Blaschke: Lectures on Differential Geometry. Vol. 1, Springer, 1924, s. 45.
4. ↑ Avhandling med Richard Courant i Göttingen 1925: Om kuleens minimale egenskaper i tre og flere dimensjoner.
5. ↑ Kurt Meyberg, Peter Vachenauer: Höhere Mathematik 2. Springer Verlag, 4. utgave 2001, s. 428 f.
6. ^ John Clegg- beregning av variasjoner. Teubner, 1970, s. 87.
7. ↑ Området er produktet av baselengden AC og høyden, som bare er CB for en rett vinkel i C og ellers er mindre.