Hankel transformasjon

I funksjonsanalyse , en gren av matematikk , er Hankel transformasjonen er en lineær integrert transformasjon , som er hovedsakelig basert på Bessel-funksjoner av første slag. Den er oppkalt etter matematikeren Hermann Hankel . Søknader inkluderer bildebehandling for korreksjon av avvik.

definisjon

Det er forskjellige konvensjoner for å definere Hankel-transformasjonen. La være en kompleks verdsatt funksjon og . Så kan man gjøre Hankel-transformasjonen av orden av by ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ nu> - {\ tfrac {1} {2}}}$${\ displaystyle \ operatorname {H} _ {\ nu}}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle F _ {\ nu} (u) = \ operatorname {H} _ {\ nu} \ {f (t) \} = \ int _ {0} ^ {\ infty} f (t) \ cdot J_ {\ nu} (ut) \ cdot t \, \ mathrm {d} t}$

definere, det er de

${\ displaystyle J _ {\ nu} (x): = \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {r} ({\ frac {x} {2}} ) ^ {2r + \ nu}} {\ Gamma (\ nu + r + 1) r!}}}$

Bessel fungerer av den første typen og er gammafunksjonen . I den grad integralen eksisterer, kalles den Hankel-transformasjonen av . Denne konvensjonen av Hankel-transformasjonen brukes hovedsakelig i denne artikkelen. I individuelle seksjoner brukes imidlertid varianten vist nedenfor, som er påpekt i de tilsvarende seksjonene. ${\ displaystyle \ Gamma (\ cdot)}$${\ displaystyle \ operatorname {H} _ {\ nu} \ {f (t) \}}$${\ displaystyle f}$

En annen mulighet til å definere Hankel-transformasjonen i rekkefølgen av er ${\ displaystyle \ nu> - {\ tfrac {1} {2}}}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle F _ {\ nu} (u) = \ operatorname {H} _ {\ nu} \ {f (t) \} = \ int _ {0} ^ {\ infty} f (t) \ cdot { \ sqrt {ut}} \ cdot J _ {\ nu} (ut) \, \ mathrm {d} t \,.}$

Her, med også Bessel-funksjonene av den første typen det er referert til, og også Hankel-transformasjon er, for så vidt integralet eksisterer. ${\ displaystyle J _ {\ nu}}$${\ displaystyle \ operatorname {H} _ {\ nu} \ {f (t) \}}$

Invers Hankel-transformasjon

I likhet med Fourier-transformasjonen er det også mulig med Hankel-transformasjonen under visse omstendigheter å gjenopprette sin utgangsfunksjon fra Hankel-transformasjonen. Et viktig resultat fra teorien om Hankel-transformasjonen sier at hvis det er en Lebesgue-integrerbar funksjon med begrenset variasjon , vil utgangsfunksjonen fra Hankel-transformasjonen med den inverse integrerte transformasjonen ${\ displaystyle f \ i L ^ {1} (] 0, \ infty [)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle F _ {\ nu}}$

${\ displaystyle f (t) = \ operatorname {H} _ {\ nu} ^ {- 1} \ {F _ {\ nu} (u) \} = \ int _ {0} ^ {\ infty} F _ {\ nu} (u) \ cdot J _ {\ nu} (ut) \ cdot u \, \ mathrm {d} u}$

kan gjenopprettes. Så Hankel-transformasjonen og dens inverse transformasjon er den samme. Det kan derfor forstås som en ufrivillig kartlegging . Denne påstanden gjelder analogt med den alternative definisjonen.

eiendommer

Orthogonality

Bessel-funksjonene danner et ortogonalt grunnlag : Det gjelder

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} J _ {\ nu} (ut) \ cdot J _ {\ nu} (u't) \ cdot t \, \ mathrm {d} t = {\ frac {\ delta (u-u ')} {u}}}$

for og større enn 0 og med enn deltafordelingen . ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle u '}$${\ displaystyle \ delta}$

Algebraization av Bessel differensialoperatør

Være

${\ displaystyle B _ {\ nu} (f): = \ left (r ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} r ^ {2}}} + r {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} r}} + (r ^ {2} - \ nu ^ {2}) \ høyre) (f)}$

den Bessel differensialoperator . Følgende gjelder Bessel-funksjonene . Ved hjelp av Hankel-transformasjonen er det mulig å konvertere denne differensialoperatøren til et uttrykk uten derivater. Gjelder akkurat ${\ displaystyle B _ {\ nu} (J _ {\ nu}) = 0}$

${\ displaystyle \ operatorname {H} _ {\ nu} (B _ {\ nu} (f)) (s) = - s ^ {2} \ operatorname {H} _ {\ nu} (f) (s) \,.}$

Dette er en sentral egenskap ved Hankel-transformasjonen for å løse differensiallikninger .

Forholdet til Fourier-transformasjonen

Hankel-transformasjonen har noen analogier med Fourier-transformasjonen. Spesielt kan Hankel- transformasjonen beregnes ved hjelp av en todimensjonal Fourier-transform . La oss være en radialt symmetrisk funksjon. Dette betyr at funksjonen er uavhengig av , og det er derfor den bare blir notert med parameteren i det følgende . Hankel-transformasjonen av denne funksjonen vil nå bli beskrevet ved hjelp av funksjonen og Fourier-transformasjonen. ${\ displaystyle \ phi \ colon \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle f (r, \ theta): = \ phi (r \ cos (\ theta), r \ sin (\ theta))}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ phi}$

For å se dette bruker vi Fourier-integralen

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (\ phi) (\ xi _ {1}, \ xi _ {2}) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {\ mathbb {R } ^ {2}} \ phi (x, y) e ^ {- i (x \ xi _ {1} + y \ xi _ {2})} \, \ mathrm {d} (x, y)}$

fra forvandlet til polarkoordinater hva til ${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {F}} (\ phi) (s \ cos (\ sigma), s \ sin (\ sigma)) = & {\ frac {1} {2 \ pi} } \ int _ {r = 0} ^ {\ infty} r \ int _ {\ theta = 0} ^ {2 \ pi} \ phi (r \ cos (\ theta), r \ sin (\ theta)) e ^ {- isr \ cos (\ theta - \ sigma)} \, \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d} r \\ = & {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {r = 0} ^ {\ infty} rf (r) \ int _ {\ alpha = 0} ^ {2 \ pi} e ^ {- isr \ cos (\ alpha)} \, \ mathrm {d} \ alpha \, \ mathrm {d} r \\ = & \ int _ {r = 0} ^ {\ infty} rf (r) J_ {0} (sr) \, \ mathrm {d} r \ end {aligned}} }$

fører. Dette viser at en Fourier-transformasjon av en radialt symmetrisk funksjon alltid tilsvarer Hankel-transformasjonen til en tilsvarende funksjon. Spesielt er det mulig å konstruere en tilsvarende radialt symmetrisk funksjon for en gitt funksjon , som Hankel-transformasjonen av kan beregnes ved Fourier-transformasjon . ${\ displaystyle f \ colon {] 0, \ infty [} \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle f}$

Hankel transformasjon for distribusjoner

Som med Fourier-transformasjonen, kan Hankel-transformasjonen generaliseres til distribusjoner på en analog måte . I motsetning til Fourier-transformasjonen kan ikke Hankel-transformasjonen defineres i rommet til de herdede distribusjonene . Derfor definerer du et nytt rom og forklarer Hankel-transformasjonen for distribusjoner på ditt doble rom . ${\ displaystyle H _ {\ nu} (] 0, \ infty [)}$

Distribusjonsrom

Vær , da er definert av ${\ displaystyle \ nu \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle H _ {\ nu} (] 0, \ infty [)}$

${\ displaystyle H _ {\ nu} (] 0, \ infty [): = \ left \ {\ phi \ in C ^ {\ infty} (] 0, \ infty [) \ left | \ forall k, m \ i \ mathbb {N} _ {0}: \ sup _ {x \ i {] 0, \ infty [}} \ left | x ^ {m} \ left ({\ tfrac {1} {x}} {\ tfrac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ right) ^ {k} (x ^ {- \ nu - {\ frac {1} {2}}} \ phi (x)) \ høyre | <\ infty \ right. \ right \} \,.}$

En topologi i form av et begrep om konvergens er også definert på dette vektorområdet . En sekvens konvergerer til null hvis og bare hvis ${\ displaystyle (\ phi _ {j}) \ delmengde H _ {\ nu} (] 0, \ infty [)}$

${\ displaystyle \ lim _ {j \ to \ infty} \ sup _ {x \ in {] 0, \ infty [}} \ left | x ^ {m} \ left ({\ tfrac {1} {x}} {\ tfrac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ right) ^ {k} (x ^ {- \ nu - {\ frac {1} {2}}} \ phi _ {j } (x)) \ høyre | = 0}$

gjelder alle . Ved å danne det topologiske dobbeltrommet får man fordelingsrommet som Hankel-transformasjonen kan defineres på. For eksempel, alle distribusjoner med kompakt støtte for hvordan delta-funksjonen er en i rommet inkludert. ${\ displaystyle k, m \ in \ mathbb {N} _ {0}}$${\ displaystyle H _ {\ nu} '(] 0, \ infty [)}$${\ displaystyle] 0, \ infty [}$${\ displaystyle H _ {\ nu} '(] 0, \ infty [)}$

Hankel transformasjon

For Hankel-transformasjonen for alle er definert av ${\ displaystyle T \ in H _ {\ nu} '(] 0, \ infty [)}$${\ displaystyle \ phi \ i H _ {\ nu} (] 0, \ infty [)}$

${\ displaystyle \ operatorname {H} _ {\ nu} (T) (\ phi): = T (\ operatorname {H} _ {\ nu} (\ phi)) \,.}$

Uttrykket er igjen en Hankel-transformasjon av en funksjon og defineres derfor. På grunn av rommet er imidlertid konvensjonen for transformasjon brukt her. ${\ displaystyle \ operatorname {H} _ {\ nu} (\ phi)}$${\ displaystyle H _ {\ nu} (] 0, \ infty [)}$${\ displaystyle \ textstyle \ operatorname {H} _ {\ nu} (\ phi) = \ int _ {0} ^ {\ infty} f (t) {\ sqrt {ut}} J _ {\ nu} (ut ) \, \ mathrm {d} t}$

Som med Fourier-transformasjonen for distribusjoner, blir ikke Hankel-transformasjonen utført på selve fordelingen, men blir beregnet på testfunksjonen . ${\ displaystyle \ phi}$

Eksempler

signal ${\ displaystyle f (t) \,}$	Hankel Transformed ${\ displaystyle F_ {0} (u): = \ operatorname {H} _ {0} (f) (u) \,}$
${\ displaystyle 1 \,}$	${\ displaystyle \ delta (u) / u \,}$, gyldig for ${\ displaystyle u \ neq 0}$
${\ displaystyle 1 / t \,}$	${\ displaystyle 1 / u \,}$
${\ displaystyle t \,}$	${\ displaystyle -1 / u ^ {3} \,}$
${\ displaystyle t ^ {3} \,}$	${\ displaystyle 9 / u ^ {5} \,}$
${\ displaystyle t ^ {m} \,}$	${\ displaystyle {\ frac {2 ^ {m + 1} \ Gamma (m / 2 + 1)} {u ^ {m + 2} \ Gamma (-m / 2)}} \,}$, gyldig for odd ${\ displaystyle m}$
${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {t ^ {2} + z ^ {2}}} \,}$	${\ displaystyle {\ frac {e ^ {- u | z |}} {u}} = {\ sqrt {\ frac {2 | z |} {\ pi u}}} K _ {- 1/2} ( u | z |) \,}$
${\ displaystyle {\ frac {1} {t ^ {2} + z ^ {2}}} \,}$	${\ displaystyle K_ {0} (uz) \,}$, ${\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}}$
${\ displaystyle e ^ {\ mathrm {i} at} / t \,}$	${\ displaystyle \ mathrm {i} / {\ sqrt {a ^ {2} -u ^ {2}}} \ quad (a> 0, u <a) \,}$ ${\ displaystyle 1 / {\ sqrt {u ^ {2} -a ^ {2}}} \ quad (a> 0, u> a) \,}$
${\ displaystyle e ^ {- a ^ {2} t ^ {2} / 2} \,}$	${\ displaystyle {\ frac {e ^ {- u ^ {2} / (2a ^ {2})}} {a ^ {2}}}}$
${\ displaystyle -t ^ {2} f (t) \,}$	${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} F _ {\ nu}} {deg ^ {2}}} + {\ frac {1} {u}} {\ frac {dF _ {\ nu}} { deg}}}$

I denne delen av Bessel-funksjoner av den andre typen -te orden, den gamma-funksjonen , den imaginære enhet , og igjen delta fordeling er henvist til. I tabellen til høyre er også noen par Hankel-transformasjoner oppført.${\ displaystyle K_ {n} (z)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle \ mathrm {i}}$${\ displaystyle \ delta}$

Hyperbola 1 / t

For Hankel-transformasjonen av nullordenen gjelder ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {t}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {H} _ {0} \ left ({\ frac {1} {t}} \ right) (s) = & \ int _ {0} ^ {\ infty} t \ cdot {\ frac {1} {t}} \ cdot J_ {0} (st) \ mathrm {d} t \\ = & \ int _ {0} ^ {\ infty} J_ {0} (st) \, \ mathrm {d} t \\ = & {\ frac {1} {s}} \ end {align}}}$.

Funksjonen er derfor et fast punkt i Hankel-transformasjonen. ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {t}}}$

Den Gaussiske bjellekurven

Denne delen skisserer beregningen av Hankel-transformasjonen fra den Gaussiske bjellekurven ved hjelp av Fourier-transformasjonen. Siden funksjonen er analytisk , kan den fortsettes og er til og med radialt symmetrisk der. Derfor kan Hankel-transformasjonen beregnes ved hjelp av Fourier-transformasjonen ved hjelp av. Det er et fast punkt for Fourier-transformasjonen , hvorfra det følger at Hankel-transformasjonen også er igjen . Så den Gaussiske bjellekurven er også et fast punkt i Hankel-transformasjonen.${\ displaystyle e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2}}}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} \ cong \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2}}}}$${\ displaystyle e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2}}}}$${\ displaystyle e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2}}}}$

Deltadistribusjonen

I dette eksemplet beregnes Hankel-transformasjonen av nulleordenen til delta-fordelingen . Det gjelder ${\ displaystyle \ delta}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {H} _ {0} ({\ tfrac {1} {u}} \ delta _ {0}) (\ phi) = & \ operatorname {H} _ {0 } (\ delta _ {0}) ({\ tfrac {1} {u}} \ phi) = \ delta _ {0} (\ operatorname {H} _ {0} ({\ tfrac {1} {u} } \ phi)) = \ operatornavn {H} _ {0} ({\ tfrac {1} {u}} \ phi) (0) \\ = & \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ tfrac {u} {u}} J_ {0} (0) \ phi (u) \, \ mathrm {d} u \\ = & \ int _ {0} ^ {\ infty} \ phi (u) \, \ mathrm {d} u \ end {align}}}$.

Uttrykket skal forstås som en fordeling som genereres av den konstante funksjonen. Innen fysikkfeltet blir deltadistribusjonen ofte notert presist som en virkelig verdsatt funksjon og ikke som en funksjonell . I dette tilfellet forkortes beregningen av Hankel-transformasjonen ${\ displaystyle \ textstyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ phi (u) \ mathrm {d} u}$

${\ displaystyle \ operatorname {H} _ {0} ({\ tfrac {1} {u}} \ delta _ {0}) (t) = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ delta (u) \ cdot {\ frac {1} {u}} \ cdot u \ cdot J_ {0} (tu) \, \ mathrm {d} u = J_ {0} (0) = 1}$.

Omvendt, hvis man ønsker å beregne Hankel-transformasjonen av den konstante funksjonen, møter man en divergerende integral når man setter den inn i den integrerte representasjonen. På grunn av tetthetsargumenter er det fremdeles mulig å forstå deltadistribusjonen som en Hankel-transformasjon av den konstante funksjonen.

hovne opp

• Larry C. Andrews, Bhimsen K. Shivamoggi: Integral Transforms for Engineers . SPIE Press, University of Central Florida, 1999, ISBN 978-0-8194-3232-2 , kapittel 7. 

• Alexander D. Poularikas: The Transforms and Applications Handbook . 2. utgave. CRC Press, 2000, ISBN 978-0-8493-8595-7 , kapittel 9. 

• LS Dube, JN Pandey: On the Hankel transform of distributions Tohoku Math. J. (2) Volume 27, Number 3 (1975), 337-354.

Individuelle bevis

1. ↑ Bernd Jähne : Digital bildebehandling . 6. utgave. Springer, ISBN 978-3-540-24999-3 , pp. 219 til 223 . 
2. ^ ^{A b} Alexander D. Poularikas: The Transforms and Applications Handbook . 2. utgave. CRC Press, 2000, ISBN 978-0-8493-8595-7 , kapittel 9.4. 
3. ↑ Alexander D. Poularikas: The Transforms and Applications Handbook . 2. utgave. CRC Press, 2000, ISBN 978-0-8493-8595-7 , kapittel 9.11. 

weblenker

• Eric W. Weisstein : Hankel Transform . På: MathWorld (engelsk).