Gromov-Hausdorff beregning

I matematikk betegner Gromov-Hausdorff-beregningen , oppkalt etter matematikerne Michail Leonidowitsch Gromow og Felix Hausdorff , en beregning på klassen av isometriske klasser av kompakte metriske rom . Det er klart at avstanden Gromov-Hausdorff er mindre, jo bedre kan de gitte rommene bringes i kongruens.

Konvergensen med hensyn til Gromov-Hausdorff-beregningen kalles Gromov-Hausdorff-konvergensen .

definisjon

Avstanden Gromov-Hausdorff er den minste mulige Hausdorff-avstanden som gitte rom kan ha når de er innebygd i et metrisk rom. Så vær kompakte metriske mellomrom. Deretter er avstanden Gromov-Hausdorff definert som: ${\ displaystyle X, Y}$${\ displaystyle d_ {GH} (X, Y)}$

${\ displaystyle d _ {\ mathrm {G} H} (X, Y): = \ inf \ {d _ {\ mathrm {H}} (f (X), g (Y)) \ mid f: X \ rightarrow Z , \; g: Y \ rightarrow Z \, {\ text {isometric embeddings}} \}}$

der

${\ displaystyle d_ {H} \, (f (X), g (Y))}$ betegner Hausdorff-avstanden til f (X) og g (Y) i Z.

Dette er definert som:

${\ displaystyle d _ {\ mathrm {H}} (X, Y): = \ max \ {\, \ sup _ {x \ i X} \ inf _ {y \ i Y} d (x, y), \ , \ sup _ {y \ i Y} \ inf _ {x \ i X} d (x, y) \, \} {\ mbox {.}} \!}$

Grenseverdien for en sekvens som er konvergent i betydningen Gromov-Hausdorff-metrikk blir referert til som Gromov-Hausdorff-grenseverdien for sekvensen; i dette tilfellet snakker man om Gromov-Hausdorff-konvergens .

Prikket Gromov-Hausdorff-konvergens

Den stiplede Gromov-Hausdorff-konvergensen er den passende analogen til Gromov-Hausdorff-konvergensen når man vurderer ikke-kompakte metriske mellomrom.

Hvis en sekvens av lokalt kompakte komplette metriske rom, hvis beregning er iboende, sies å være konvergent mot , hvis for hver den lukkede- ball um i Gromov-Hausdorff-forstand konvergerer til den lukkede- ball um . ${\ displaystyle (X_ {n}, p_ {n})}$ ${\ displaystyle (Y, q)}$${\ displaystyle R> 0}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle p_ {n}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle q}$

Gromov-Hausdorff-konvergens av manifolder

Grensen for en Gromov-Hausdorff-konvergerende sekvens av dimensjonale Riemann-manifolder trenger generelt ikke å være en manifold. ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle (M_ {i}, g_ {i})}$

Hvis manifoldene har jevnt begrenset krumning og jevnt begrensede diametre, følger det av Gromovs teorem at grensen er et Alexandrov-rom med samme krumning og diametergrenser og dimensjonen mindre eller lik . ${\ displaystyle n}$

Hvis (forutsatt at krumningen er jevnt avgrenset nedover) grenseverdien er et dimensjonalt manifold, må nesten alle av dem ha vært for homeomorfe - det er Perelmans stabilitetssetning . ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle M_ {i}}$${\ displaystyle M}$

Mer generelt, hvis grenseverdien er en Riemann-manifold av en hvilken som helst dimensjon (igjen under antagelse om at krumningen er jevnt nedover) , må nesten alle fiberbunter ha vært over (Fukaya-Yamaguchi, V. Kapovitch-Wilking). ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M_ {i}}$ ${\ displaystyle M}$

litteratur

• M. Gromov. Metriske strukturer for riemanniske og ikke-riemanniske rom , Birkhäuser (1999). ISBN 0-8176-3898-9 .