Hendelse (sannsynlighetsteori)

I sannsynlighetsteori er en hendelse (også en tilfeldig hendelse ) en del av et sett med resultater fra et tilfeldig eksperiment som en sannsynlighet kan tildeles. For eksempel tilordnes hendelsen "kaste et partall" til delsettet av den totale mengden av alle mulige resultater ( resultatområdet ). Det sies at en hendelse oppstår når den inneholder resultatet av det tilfeldige eksperimentet som et element. ${\ displaystyle \ {2,4,6 \}}$${\ displaystyle \ {1,2,3,4,5,6 \}}$

Hendelsen som er identisk med resultatsettet kalles en bestemt hendelse , siden den alltid forekommer. I kontrast kalles hendelsen som er identisk med det tomme settet en umulig hendelse : den skjer aldri. I eksemplet med matrullen er den sikre hendelsen settet og den umulige hendelsen er settet . ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ {1,2,3,4,5,6 \}}$${\ displaystyle \ varnothing}$

definisjon

Hvis det er et sannsynlighetsrom , kalles en hendelse . Hendelsene i et sannsynlighetsrom er altså de undergruppene av resultatsettet som ligger i σ-algebra , det såkalte hendelsessystemet . ${\ displaystyle (\ Omega, \ Sigma, P)}$${\ displaystyle A \ in \ Sigma}$ ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle \ Sigma}$

Hendelsene er de settene som man senere vil tildele en sannsynlighet ved hjelp av et sannsynlighetsmål . I de mer generelle rammene av måle teori kalles hendelsene også målbare størrelser . ${\ displaystyle A \ in \ Sigma}$${\ displaystyle P (A)}$

Eksempler

Endelig resultat satt

Resultatsettet er gitt

${\ displaystyle \ Omega = \ {1,2,3 \}}$,

følger med arrangementssystemet

${\ displaystyle \ Sigma: = \ {\ Omega, \ emptyset, \ {1 \}, \ {2,3 \} \}}$.

Så er for eksempel settene og settene hendelser fordi de er inneholdt i hendelsessystemet. Publikum er ikke et arrangement. Selv om det er en delmengde av resultatsettet, er det ikke inkludert i hendelsessystemet. Siden hendelsessystemet er en σ-algebra, er resultatsettet og det tomme settet alltid hendelser. ${\ displaystyle \ {1 \}}$${\ displaystyle \ {2,3 \}}$${\ displaystyle \ {2 \}}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ emptyset}$

Diskret resultatsett

For vilkårlige, diskrete resultatsett , dvs. de med maksimalt et utallig uendelig antall elementer, brukes strømsettet vanligvis som hendelsessystemet. Så er hvert delmengde av resultatsettet en hendelse, siden maktsettet er nøyaktig settet med alle delmengder. ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ Omega)}$

Ekte resultatsett

For virkelige resultatsett bruker man vanligvis Borels σ-algebra som hendelsessystemet. Her er for eksempel alle åpne intervaller, dvs. sett med skjemaet med hendelser. Faktisk er disse settene så store at nesten alt som kan defineres meningsfullt er en hendelse. Imidlertid er det sett som ikke er hendelser, for eksempel Vitali-settene . ${\ displaystyle (a, b)}$${\ displaystyle a <b}$

Sett operasjoner med hendelser

Hvis et resultat av et tilfeldig eksperiment og en hendelse, så sier man også i saken : hendelsen inntreffer . ${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega}$${\ displaystyle A \ in \ Sigma}$${\ displaystyle \ omega \ i A}$${\ displaystyle A}$

Delsett og likhet

Hvis en hendelse er en delmengde av en annen hendelse (angitt som ), skjer hendelsen alltid sammen med hendelsen . Man sier da også: arrangementet fører til arrangementet . Følgende gjelder sannsynlighetene i dette tilfellet . Det betyr: hvis hendelsen fører til hendelsen , er sannsynligheten for minst like stor som den for . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A \ subseteq B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle P (A) \ leq P (B)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$

Det gjelder nøyaktig hvis og gjelder. Likestillingen av hendelser betyr at arrangementet medfører arrangementet på samme måte som arrangementet medfører arrangementet . ${\ displaystyle A = B}$${\ displaystyle A \ subseteq B}$${\ displaystyle B \ subseteq A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$

Skjæringspunkt og usammenheng

Den skjæringspunktet mellom to hendelser er igjen en hendelse. Det skjer nøyaktig når og begge skjer. ${\ displaystyle A \ cap B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

Hvis det er sant, dvs. felles forekomst av og er umulig, så sier man at de to hendelsene er gjensidig utelukkende . Hendelsene og kalles da også usammenhengende eller inkompatible . ${\ displaystyle A \ cap B = \ varnothing}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

Hvis hendelsene er mer generelle , blir kuttet gjort ${\ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, \ ldots}$

${\ displaystyle \ bigcap _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n}}$

hendelsen som skjer nøyaktig når de alle inntreffer. Arrangementene kalles pairwise disjoint hvis det gjelder for alle med . ${\ displaystyle A_ {n}}$${\ displaystyle A_ {m} \ cap A_ {n} = \ varnothing}$${\ displaystyle m, n \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle m \ neq n}$

Union

Den foreningen av to hendelser er også en hendelse. Det skjer akkurat når enten eller eller begge hendelser inntreffer. Med andre ord: oppstår når minst en av de to hendelsene eller skjer. ${\ displaystyle A \ cup B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A \ cup B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

Formelen gjelder alltid sannsynligheten for kryss og forening

${\ displaystyle P (A \ cap B) + P (A \ cup B) = P (A) + P (B) \,.}$

Spesielt er det i tilfelle usammenhengende hendelser . ${\ displaystyle P (A \ cup B) = P (A) + P (B)}$

Hvis mer generelle hendelser er, så er fagforeningen ${\ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, \ ldots}$

${\ displaystyle \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n}}$

hendelsen som skjer nøyaktig når minst en av hendelsene skjer. ${\ displaystyle A_ {n}}$

Den såkalte σ-underadditiviteten gjelder alltid

${\ displaystyle P \ left (\ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n} \ right) \ leq \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} P (A_ {n}) \ ,.}$

I tilfelle parvise usammenhengende hendelser, gjelder likhet her.

Siktformelen holder sannsynligheten for vilkårlige foreninger av endelig mange hendelser .

Komplett arrangementssystem

En familie av hendelser som er parvis uensartede og hvis forening resulterer i et komplett system kalles også et komplett hendelsessystem eller usammenhengende nedbrytning av (generelt: en partisjon av ). I dette tilfellet, for hvert resultat av det tilfeldige eksperimentet, oppstår nøyaktig en av hendelsene i den usammenhengende nedbrytningen. ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$

Komplement og forskjell

Den komplementære hendelsen skjer nøyaktig når hendelsen ikke skjer. Det kalles også en mothendelse og er betegnet med (alternativt også med ). Sannsynligheten er ${\ displaystyle \ Omega \ setminus A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ overline {A}}}$${\ displaystyle A ^ {\ mathsf {c}}}$

${\ displaystyle P ({\ overline {A}}) = 1-P (A) \,.}$

De Morgans formler gjelder komplementene til kryss og fagforeningssett

${\ displaystyle {\ overline {\ bigcap _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n}}} = \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ overline {A_ {n}}} \ ,,}$

${\ displaystyle {\ overline {\ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n}}} = \ bigcap _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ overline {A_ {n}}} \,.}$

Det samme gjelder for to arrangementer i tillegg . ${\ displaystyle {\ overline {A \ cap B}} = {\ overline {A}} \ cup {\ overline {B}}}$${\ displaystyle {\ overline {A \ cup B}} = {\ overline {A}} \ cap {\ overline {B}}}$

Den forskjellen sett er hendelsen som skjer akkurat når hendelsen oppstår , men ikke samtidig som hendelsen . Det gjelder ${\ displaystyle A \ setminus B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle A \ setminus B = A \ cap {\ overline {B}} \,.}$

Følgende gjelder sannsynligheten . I spesielle tilfeller følger det . ${\ displaystyle P (A \ setminus B) = P (A) -P (A \ cap B)}$${\ displaystyle B \ subseteq A}$${\ displaystyle P (A \ setminus B) = P (A) -P (B)}$

Symmetrisk forskjell

En annen angitt operasjon er den symmetriske forskjellen

${\ displaystyle A \ bigtriangleup B = \ left (A \ setminus B \ right) \ cup \ left (B \ setminus A \ right) = (A \ cup B) \ setminus (A \ cap B)}$

to arrangementer og . Hendelsen skjer nøyaktig når den ene eller den andre skjer (men ikke begge deler), dvs. når nøyaktig en av de to hendelsene skjer. Det gjelder ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A \ bigtriangleup B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle P (A \ bigtriangleup B) = P (A) + P (B) -2P (A \ cap B) \,.}$

Uavhengige hendelser

De to hendelsene og kalles uavhengig av hverandre hvis ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle P (A \ cap B) = P (A) \ cdot P (B).}$

Ved å bruke formelen for den betingede sannsynligheten, kan dette uttrykkes som

${\ displaystyle P (A) = P (A \ mid B)}$

skriv, gitt . ${\ displaystyle P (B)> 0}$

Mer generelt kalles en familie av hendelser uavhengig hvis for hvert endelig delmengde : ${\ displaystyle (A_ {i}) _ {i \ i I}}$${\ displaystyle J \ subseteq I}$

${\ displaystyle P \ left (\ bigcap _ {j \ in J} A_ {j} \ right) = \ prod _ {j \ in J} P (A_ {j}) \,.}$

Hendelsene kalles parvis uavhengig, hvis

${\ displaystyle P (A_ {i} \ cap A_ {j}) = P (A_ {i}) \ cdot P (A_ {j})}$

gjelder alle . Uavhengige hendelser er parvis uavhengige, men det omvendte holder vanligvis ikke. ${\ displaystyle i, j \ i I}$

Guds handling

Enkeltelementhendelsene blir noen ganger også referert til som elementære hendelser . Hvis det maksimalt kan telles , kan sannsynligheten for alle elementære hendelser bestemmes ved hjelp av ${\ displaystyle \ {\ omega \} \ subseteq \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle \ rho (\ omega) = P (\ {\ omega \})}$

${\ displaystyle P (A) = \ sum _ {\ omega \ in A} \ rho (\ omega)}$

bestem sannsynligheten for alle hendelser . De må velges slik at så vel som ${\ displaystyle A \ subseteq \ Omega}$${\ displaystyle \ rho (\ omega)}$${\ displaystyle 0 \ leq \ rho (\ omega) \ leq 1}$

${\ displaystyle \ sum _ {\ omega \ in \ Omega} \ rho (\ omega) = 1}$

gjelder.

Det skal imidlertid bemerkes at selve resultatene noen ganger i litteraturen omtales som naturlige hendelser. Dette er imidlertid ikke hendelser fordi de ikke er delmengder av . ${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$

Videre er det ett-element sett behøver ikke nødvendigvis å være i tilfelle plass. Det er da ikke en hendelse. ${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega}$${\ displaystyle \ {\ omega \}}$${\ displaystyle \ Sigma}$

litteratur

• Norbert Henze : Stochastics for Beginners: En introduksjon til den fascinerende verden av sjanser. 10. utgave, Springer Spectrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-03076-6 , doi : 10.1007 / 978-3-658-03077-3 . Pp. 5–9, 283 ( utdrag (Google) )
• Rainer Schlittgen : Introduksjon til statistikk. 9. utgave. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, Oldenbourg 2000, ISBN 3-486-27446-5

Individuelle bevis

1. ↑ Klaus D. Schmidt: Mål og sannsynlighet. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89729-3 , s. 195.