Avdimensjonalisering

Av-dimensjonering eller av-dimensjonering er delvis eller fullstendig fjerning av dimensjoner (for eksempel måleenheter ) fra en fysisk ligning ved en passende erstatning av variabler. Ved hjelp av dimensjons variabler og konstanter med dimensjoner, kan effekter elimineres som resultat av valget av systemet av enheter og iboende konstanter i systemet, slik som karakteristiske lengder , ganger eller frekvenser, kan bli funnet. Teknikken er derfor egnet for å forenkle systemer med differensiallikninger .

Av-dimensjonaliseringen er relatert til dimensjonsanalysen og den dimensjonale observasjonen .

Egenskaper og fordeler med dimensjonsløse ligninger

I noen fysiske systemer betegnelsen skalering blir brukt som et synonym for de-dimensionalization for å indikere at en del mengder at de ikke blir målt i et generelt system av enheter slik som de SI-enheter , men heller i forhold til en enhet gis av systemet i henhold til vurdering. Disse enhetene kalles "indre" eller "karakteristiske" mengder av systemet. En slik karakteristisk variabel kan for eksempel være en gjennomsnittlig levetid eller pendulets svingningsperiode, slik at tiden måles i et tilsvarende skalert system som et multiplum av disse variablene.

De Reynolds tall viser avhengigheten av 4 dimensjonale mengder i en dimensjonsløs størrelse og således muliggjør en reduksjon i den dimensjonalitet Moody-diagram.

I tilfellet med de-dimensionalization, dimensjons nøkkeltall oppstår i ligningen , for eksempel i fluidmekanikk det Reynolds-tall (fra det de-dimensionalization av Navier-Stokes ligning ), den Euler nummer eller Prandtl-tallet . Disse referansevariablene velges slik at de nye dimensjonsløse variablene vanligvis er i størrelsesorden en. Den dimensjonsløse formuleringen definerer derfor hva ”liten” betyr, nemlig når den dimensjonsløse mengden er mindre enn en.

Ved å fullstendig dimensjonalisere en ligning, kan systemets parametere reduseres ved å kombinere dem i dimensjonsløse grupper. Ved hjelp av disse dimensjonsløse gruppene kan karakteristiske konstanter i et system oppdages, for eksempel resonansfrekvenser, lengder eller tider. Ved å kombinere parametrene i dimensjonsløse grupper kan systemer sammenlignes med hverandre. To systemer, som i realiteten har samme oppførsel, men en annen absolutt dimensjon, for eksempel en fjærpendel og en oscillerende krets, kan reduseres til det samme dimensjonsløse ligningssystemet ved de-dimensjonalisering.

Avdimensjonalisering skal skilles fra konvertering av omfattende mengder i en ligning til intensiv , siden resultatene av denne prosedyren fremdeles er gjenstand for enheter.

Handling

Det er ofte flere alternativer for å konvertere en dimensjonsligning til en dimensjonsløs ligning, selv om det optimale valget i utgangspunktet er uklart. Et ukjent system med differensialligninger kan derfor dimensjoneres med følgende trinn:

(1) Identifiser alle avhengige og uavhengige variabler.

(2) Hver uavhengige dimensjonsvariabel erstattes av et produkt av en dimensjonsløs størrelse og en dimensjonsreferansevariabel iht . Verdien av referansevariabelen vil senere bli bestemt slik at den dimensjonsløse størrelsen er i størrelsesorden en.${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle {\ hat {\ varphi}}}$${\ displaystyle \ varphi _ {\ mathrm {c}}}$${\ displaystyle \ varphi = {\ hat {\ varphi}} \ cdot \ varphi _ {\ mathrm {c}}}$

(3) Ved hjelp av kjederegelen uttrykkes alle dimensjonsderivater av derivater av dimensjonsløse størrelser i form av en annen dimensjonsløs størrelse.

(4) Systemet med differensiallikninger består nå generelt av produkter med dimensjonsløse termer, som beregnes ut fra dimensjonsløse størrelser og deres derivater, og dimensjonale koeffisienter, som beregnes ut fra parametere og referansevariablene. Dimensjonskoeffisientene erstattes av dimensjonsløse grupper ved å dele hver ligning med koeffisienten før begrepet av den høyeste orden eller en annen størrelse av samme dimensjon.

(5) I henhold til ovennevnte antagelse er alle dimensjonsløse størrelser så vel som dens derivater av størrelsesorden ett. Referansevariablene er derfor satt på en slik måte at så mange dimensjonale koeffisienter som mulig også har størrelsesorden en. Et begrep i ligningen er "liten" hvis den dimensjonsløse gruppen er mindre enn en. På denne måten kan det spesifiseres i hvilke systemer et begrep kan neglisjeres.

(6) En ny variabel introduseres for hver gjenværende dimensjonsløse gruppe, slik at ligningssystemet kan skrives som en funksjon av disse variablene.

Eksempler

Første ordens differensialligning

En førsteordens differensialligning med konstante koeffisienter vurderes ( ) ${\ displaystyle a, b, A}$

${\ displaystyle a {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} + bx = Af (t)}$

som er dimensjonalisert i henhold til skjemaet ovenfor:

(1) Ligningen inneholder en uavhengig variabel og en avhengig variabel . ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle x}$

(2) Bytt ut og . ${\ displaystyle \ textstyle x = {\ hat {x}} \ cdot x _ {\ mathrm {c}}}$${\ displaystyle \ textstyle t = {\ hat {t}} \ cdot t _ {\ mathrm {c}}}$

(3) Erstatt derivatet

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {x _ {\ mathrm {c}}} {t _ {\ mathrm {c}}}} {\ frac {\ mathrm {d} {\ hat {x}}} {\ mathrm {d} {\ hat {t}}}}}$

og definere

${\ displaystyle \ textstyle {\ hat {f}} ({\ hat {t}}): = f ({\ hat {t}} \ cdot t _ {\ mathrm {c}})}$

(4) Resultatet

${\ displaystyle a {\ frac {x _ {\ mathrm {c}}} {t _ {\ mathrm {c}}}} {\ frac {\ mathrm {d} {\ hat {x}}} {\ mathrm {d} {\ hat {t}}}} + bx _ {\ mathrm {c}} {\ hat {x}} = A {\ hat {f}} ({\ hat {t}})}$

divideres med koeffisienten før begrepet med den høyeste ordens derivat.${\ displaystyle \ textstyle a {\ frac {x _ {\ mathrm {c}}} {t _ {\ mathrm {c}}}}}$

(5) Som et resultat

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ hat {x}}} {\ mathrm {d} {\ hat {t}}}} + \ left ({\ frac {bt _ {\ mathrm {c }}} {a}} \ right) {\ hat {x}} = \ left ({\ frac {At _ {\ mathrm {c}}} {ax _ {\ mathrm {c}}}} \ right) {\ hat {f}} ({\ hat {t}})}$

parameterne vises som to dimensjonsgrupper i tillegg . Den første inneholder bare den karakteristiske variabelen og er derfor satt som den første: ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {bt _ {\ mathrm {c}}} {a}}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {At _ {\ mathrm {c}}} {ax _ {\ mathrm {c}}}}}$${\ displaystyle t _ {\ mathrm {c}}}$

${\ displaystyle {\ frac {bt _ {\ mathrm {c}}} {a}} = 1 \ Rightarrow t _ {\ mathrm {c}} = {\ frac {a} {b}}.}$

Det følger for den andre gruppen

${\ displaystyle {\ frac {At _ {\ mathrm {c}}} {ax _ {\ mathrm {c}}}} = {\ frac {A} {bx _ {\ mathrm {c}}}} = 1 \ Rightarrow x_ {\ mathrm {c}} = {\ frac {A} {b}}.}$

(6) Den resulterende dimensjonsløse ligningen er uavhengig av dimensjonale parametere:

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ hat {x}}} {\ mathrm {d} {\ hat {t}}}} + {\ hat {x}} = {\ hat {f} } ({\ hat {t}}).}$

Massefjærsystem

Et massefjærsystem bestående av en horisontalt forskyvbar masse m i x- retningen på en fjær med en fjærkonstant k og en vibrasjonsdemper med en dempekonstant B festet til en vegg. Den eksterne kraften F som avbøyer systemet fra hvileposisjonen er null.

Følgende differensialligning kan settes opp for et massefjærsystem (se figur):

${\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + B {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d } t}} + kx = 0}$

Med

• ${\ displaystyle x}$ avbøyningen fra hvileposisjonen i meter [m]
• ${\ displaystyle t}$ tiden i sekunder [s]
• ${\ displaystyle m}$ Masse i kg [kg]
• ${\ displaystyle B}$ Dempingskonstant [kg s ⁻¹ ]
• ${\ displaystyle k}$ Fjærkonstant [kg s ⁻² ]

Etter trinn (1) til (4) oppnås det dimensjonsløse ligningssystemet

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} {\ hat {x}}} {\ mathrm {d} {\ hat {t}} ^ {2}}} + {\ frac {Bt_ { \ mathrm {c}}} {m}} {\ frac {\ mathrm {d} {\ hat {x}}} {\ mathrm {d} {\ hat {t}}}} + {\ frac {kt_ { \ mathrm {c}} ^ {2}} {m}} {\ hat {x}} = 0}$

(5) Den karakteristiske tiden kan velges som det som tilsvarer en periode med den ikke-dempede svingningen. ${\ displaystyle \ textstyle t _ {\ mathrm {c}} = {\ sqrt {\ frac {m} {k}}}}$

(6) Det som gjenstår er et dimensjonsløst ligningssystem som kalles den dempede harmoniske oscillatoren , med en dimensjonsløs gruppe , der den dimensjonsløse parameteren kalles dempingsgraden : ${\ displaystyle \ textstyle 2D = {\ frac {B} {\ sqrt {mk}}}}$${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} {\ hat {x}}} {\ mathrm {d} {\ hat {t}} ^ {2}}} + 2D {\ frac {\ mathrm {d} {\ hat {x}}} {\ mathrm {d} {\ hat {t}}}} + {\ hat {x}} = 0}$

Elektrisk oscillerende krets

En resonanskrets bestående av en ohmsk motstand R , en kondensator med kapasitans C og en spole med induktans L.

Følgende differensialligning kan settes opp for en elektrisk oscillerende krets (se figur):

${\ displaystyle LC \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} i} {dt ^ {2}}} + RC \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} i} {\ mathrm {d} t}} + i = 0}$

Med

• ${\ displaystyle i}$den elektriske strømmen i ampere [A]
• ${\ displaystyle t}$ tiden i sekunder [s]
• ${\ displaystyle C}$den elektriske kapasitansen i Farad [A ² s ⁴ kg ⁻¹ m ⁻² ]
• ${\ displaystyle R}$den elektriske motstanden i ohm [A ⁻² s ⁻³ kg m ² ]
• ${\ displaystyle L}$den elektriske induktansen i Henry [A ⁻² s ⁻² kg m ² ]

Etter trinn (1) til (6) får man også en dempet harmonisk oscillator som et dimensjonsløst ligningssystem

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} {\ hat {i}}} {\ mathrm {d} {\ hat {t}} ^ {2}}} + 2D {\ frac {\ mathrm {d} {\ hat {i}}} {\ mathrm {d} {\ hat {t}}}} + {\ hat {i}} = 0}$

Hvis den dimensjonsløse dempekonstanten til den elektriske oscillerende kretsen stemmer overens med dempekonstanten til massefjærsystemet, viser begge systemene den samme oppførselen. ${\ displaystyle D}$

Se også

• Størrelsen på talldimensjonen

litteratur

• CC Lin, LA Segel: Matematikk anvendt på deterministiske problemer i naturvitenskapen . SIAM, 1988. 

Individuelle bevis

1. ↑ J. Struckmeier: Matematisk modellering. 2.1. Skalering, av-dimensjonalisering og små parametere. S.45 , åpnet 14. mai 2017 . 
2. ↑ ^{a b c d e} Steven H. Strogatz: Nonlinear Dynamics and Chaos . Westview Press, 2000, ISBN 0-7382-0453-6 , pp. 64 .