Brownian bro

To uavhengige brownian broer med tidshorisont 1. Dobbelt standardavvik (ellips) er indikert i grått som det marginale konfidensintervallet

En brownian bro er en spesiell stokastisk prosess som oppstår fra Wiener-prosessen (også kalt Brownian-bevegelse ). I motsetning til dette har den imidlertid en endelig tidshorisont med en deterministisk (dvs. ikke tilfeldig) sluttverdi, som normalt er den samme som startverdien. Den browniske broen brukes til å modellere tilfeldig utvikling av data, hvis verdi er kjent på to tidspunkter.

definisjon

Vær en standard Wien-prosess og et fast tidspunkt. Da kalles prosessen ${\ displaystyle (W_ {t}), \; t \ geq 0}$${\ displaystyle T \ geq 0}$

${\ displaystyle B_ {t}: = (W_ {t} | W_ {T} = 0), \; t \ in [0, T]}$

Brownisk bro av lengde . Den eneste forskjellen er i det faktum at det krever er at den på den tiden tilbake til null. Så sannsynlighetsfordelingen på når som helst tidspunkt er gitt av den betingede sannsynligheten ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle P (B_ {t} \ leq c) = P (W_ {t} \ leq c | W_ {T} = 0)}$.

Spesielt gjelder selvfølgelig . Derav navnet på prosessen: Det bygges en bro mellom 0 og , hvor du har "solid grunn under føttene" igjen. ${\ displaystyle B_ {T} = 0}$${\ displaystyle T}$

eiendommer

Noen grunnleggende egenskaper ved Wiener-prosessen beholdes i overgangen til Browns bro, men andre går tapt:

• Brownsche Brücke har nesten sikkert stødige , ingen steder forskjellige veier overalt .
• Den forventning funksjon av Brownske broen er konstant .${\ displaystyle t \ mapsto E (B_ {t}) = 0}$
• Den kovariansfunksjon er .${\ displaystyle (s, t) \ mapsto \ operatorname {Cov} (B_ {s}, B_ {t}) = \ min (s, t) - {\ frac {st} {T}}}$

Spesielt har vi for variansen : . ${\ displaystyle \ operatorname {Var} (B_ {t}) = {\ frac {t (Tt)} {T}}}$

• Den browniske broen er en Markov-prosess , men i motsetning til den browniske bevegelsen er den verken en Lévy-prosess eller en martingale .
• Den browniske broen er en Gaussisk prosess , dvs. den er allerede unikt bestemt av ovennevnte forventede verdi og kovariansfunksjon.

simulering

I prinsippet er de samme mulighetene tilgjengelige for å simulere en brownian bro som med Wiener-prosessen, fordi en brownian bridge kan brukes til å tjene på en Wiener-prosess med en tidshorisont . Så du kan ganske enkelt simulere en brownian bevegelse opp til tidspunktet og deretter konvertere den til en brownian bridge med transformasjonen ovenfor. ${\ displaystyle (W_ {t}), \; t \ geq 0}$${\ displaystyle B_ {t}: = W_ {t} - {\ frac {t} {T}} W_ {T}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$

Men det er også andre muligheter: Hvis den browniske bevegelsen genereres ved hjelp av en dyadisk nedbrytning (forvirrende, denne metoden blir ofte også referert til som en brownian bro ) eller spektral nedbrytning , så kan du bare utelate det første trinnet som bestemmer slutten punkt , og så får du automatisk en brownian bro. I tilfelle spektral nedbrytning, ville representasjonen være ${\ displaystyle W_ {T}}$

${\ displaystyle B_ {t} = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} Z_ {k} {\ frac {{\ sqrt {2}} \ sin (k \ pi t)} {k \ pi} }}$er, med uavhengig standard normalfordeling .${\ displaystyle Z_ {1}, Z_ {2}, \ ldots}$

Generaliseringer

• Som et alternativ til den ovennevnte definisjon, som garanterer, er det også mulig for en hvilken som helst av${\ displaystyle B_ {T} = 0}$${\ displaystyle c \ in \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle B_ {t} = (W_ {t} | W_ {T} = c), \; t \ geq 0}$

Definer en bro som ender på et hvilket som helst forutbestemt nivå (figurativt sett blir broen en rampe ). Den tilsvarende transformasjonen er da .${\ displaystyle c}$${\ displaystyle B_ {t} = W_ {t} - {\ frac {t} {T}} (W_ {T} -c)}$

• I tillegg kan den opprinnelige Brownian-bevegelsen også gis hvilken som helst volatilitet (se: generalisert Wiener-prosess ). : Formlene for forventet verdi og kovarians er da${\ displaystyle \ sigma}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} (B_ {t}) = {\ frac {ct} {T}}}$ henholdsvis

${\ displaystyle \ operatorname {Cov} (B_ {t}, B_ {s}) = \ sigma ^ {2} \ left (\ min \ {s, t \} - {\ frac {st} {T}} \ Ikke sant)}$.

Interessant nok har c ingen innflytelse på forventet verdi og c har ingen innflytelse på kovariansen. En mulig drift i den bruneiske bevegelsen ville ikke påvirke fordelingen av prosessen i det hele tatt.${\ displaystyle \ sigma}$

litteratur

• Achim Klenke : Sannsynlighetsteori . 3. Utgave. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6 , doi : 10.1007 / 978-3-642-36018-3 .