Arkimedisk prinsipp

Den Arkimedes prinsipp er oppkalt etter den greske scholar Arkimedes , som levde for over 2000 år siden, og var den første til å formulere dette faktum som det 16. forslaget i sitt arbeid Om flytende legemer Det lyder:

Figur 1: skjematisk heis

Archimedes-prinsippet gjelder i alle væsker , dvs. H. til en god tilnærming i væsker og i gasser . Skip fortrenger vann og får dermed oppdrift. Siden den gjennomsnittlige tettheten til et skip er mindre enn tettheten av vann, flyter det på overflaten. Selv ballonger og luftskip benytter seg av denne eiendommen. De er fylt med en gass hvis tetthet er lavere enn den omgivende luften. I mange luftskip og ballonger er disse gassene (f.eks. Helium eller hydrogen ) naturlig mindre tette enn luft; I varmluftsballonger og varmluftsskip varmes luftfyllingen opp ved hjelp av gassbrennere, noe som reduserer densiteten.

Forklaring av fenomenet

Figur 2: Kraften (b) i bunnen (trykket i vannet) er større enn kraften (a) øverst. Sidekreftene (c og d) er irrelevante for oppdrift

Bilde 3: Kraften som virker på et punkt (i væsker eller gasser) er den samme i alle retninger.

I et forenklet syn er årsaken til oppdriftskraften at det hydrostatiske trykket er forskjellig på toppen og bunnen av et nedsenket legeme. Denne trykkforskjellen resulterer i forskjellige krefter på undersiden og på oversiden av nedsenket legeme; en større kraft virker på undersiden enn på de delene av overflaten som ligger lenger opp.

Eksempelberegning

I eksemplet (fig. 1) antar vi en kube med en kantlengde på 20 cm. Den er nedsenket 10 cm under vannoverflaten.

Beregning ved bruk av trykkdifferanser

Trykket generert av 1 m vann er . Så på oversiden av kroppen med vannsøyle er det , på undersiden med vannsøyle er det . Lufttrykket legges til begge verdiene og trenger ikke tas med i beregningen. ${\ displaystyle 9810 ~ {\ frac {\ mathrm {N}} {{\ mathrm {m}} ^ {2}}} = 9810 ~ \ mathrm {Pa}}$${\ displaystyle 0 {,} 1 ~ \ mathrm {m}}$${\ displaystyle 981 ~ \ mathrm {Pa}}$${\ displaystyle 0 {,} 3 ~ \ mathrm {m}}$${\ displaystyle 2943 ~ \ mathrm {Pa}}$

Kraften virker således på den nedre overflaten (fig. 1)${\ displaystyle A _ {\ text {below}}}$

${\ displaystyle F _ {\ text {below}} = 2943 ~ {\ frac {\ mathrm {N}} {{\ mathrm {m}} ^ {2}}} \ cdot 0 {,} 04 \, \ mathrm {m} ^ {2} = {\ understrek {117 {,} 72 \, \ mathrm {N}}}}$

opp. I motsetning til dette virker kraften på den øvre overflaten${\ displaystyle A _ {\ text {over}}}$

${\ displaystyle F _ {\ text {over}} = 981 ~ {\ frac {\ mathrm {N}} {{\ mathrm {m}} ^ {2}}} \ cdot 0 {,} 04 \, \ mathrm {m} ^ {2} = {\ understrek {39 {,} 24 \, {\ rm {N}}}}}$

nedover. Forskjellen mellom de to kreftene, dvs. oppdrift av dette legemet, beregnes som følger

${\ displaystyle F _ {\ text {oppdrift}} = F _ {\ text {nedenfor}} - F _ {\ text {over}} = 117 {,} 72 \, \ mathrm {N} -39 {,} 24 \, \ mathrm {N} = {\ understrek {78 {,} 48 \, \ mathrm {N}}}}$.

Beregning ved hjelp av Archimedes-prinsippet

Arkimedes, gjelder følgende: . Med henvisning til eksemplet (bilde 1) kan vi skrive: ${\ displaystyle F _ {\ text {oppdrift}} = F _ {\ text {vekt, flytende}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} F _ {\ text {Oppdrift}} & = V _ {\ mathrm {verdr {\ ddot {a}} ngt}} \ cdot \ rho _ {\ text {Fluid}} \ cdot g \\ & = 8000 \, \ mathrm {cm} ^ {3} \ cdot 1 \, {\ frac {g} {\ mathrm {cm} ^ {3}}} \ cdot 9 {,} 81 \ cdot 10 ^ {-3} \, {\ frac {\ mathrm {N}} {g}} \\ & = {\ understrek {78 {,} 48 \, \ mathrm {N}}} \ end {align}} }$

Tettheten av væsken, forholdet til masse og volum , og den romlige faktoren ble brukt. Vi ser at begge metodene fører til det samme resultatet. ${\ displaystyle \ rho _ {\ text {Fluid}}}$${\ displaystyle \ rho = {\ frac {m} {V}}}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle g}$

Tankeeksperiment

Følgende tankeeksperiment illustrerer riktigheten av det arkimediske prinsippet. For å gjøre dette, forestill deg en væske i hvile. Enhver del av væsken er merket i væsken. Merkingen kan tenkes som en slags vannballong i en beholder med vann, bare at huden på denne vannballongen er uendelig tynn og masseløs og kan ha en hvilken som helst form.

Du kan nå se at den delen av væsken som er merket på denne måten i væsken verken stiger eller synker, siden hele væsken er i ro - den markerte delen flyter vektløst, så å si, i væsken som omgir den. Dette betyr at oppdriftskraften til den merkede væskedelen nøyaktig kompenserer for vekten. Fra dette kan det konkluderes med at oppdriftskraften til den markerte væskedelen tilsvarer nøyaktig vekten. Siden merkingen er vilkårlig i væsken, vises riktigheten av Archimedes-prinsippet for homogene væsker.

Stige, synke, flyte

For at kroppen skal opprettholde den posisjonen som er beskrevet i grafikken, må vekten være lik vekten av det fortrengte vannet (78,48 N). Da avbryter alle krefter som virker på kroppen hverandre, og kroppen stopper. I følge formelen må kroppen veie 8000 g. Videre vil den ha en tetthet på 1 kg / dm ³ , dvs. tettheten av vann. ${\ displaystyle m = {\ tfrac {F _ {\ text {vekt}}} {g}}}$${\ displaystyle \ rho = {\ tfrac {m} {V}}}$

Så vi kan formulere følgende regel:

• Hvis det er, så flyter kroppen.${\ displaystyle \ rho _ {\ mathrm {K {\ ddot {o}} rper}} = \ rho _ {\ text {Fluid}}}$
• Hvis det er, så stiger kroppen.${\ displaystyle \ rho _ {\ mathrm {K {\ ddot {o}} rper}} <\ rho _ {\ text {Fluid}}}$
• Hvis det er, så synker kroppen.${\ displaystyle \ rho _ {\ mathrm {K {\ ddot {o}} rper}}> \ rho _ {\ text {Fluid}}}$

Kroppene stiger eller faller til vekten motvirkes av en styrke av samme størrelse. Dette kan føre til endret tetthet av væsken eller bunnen av koppen når den synker. En kropp stiger ofte til den bryter gjennom overflaten. I dette tilfellet:

${\ displaystyle V _ {\ text {nedsenket}} \ cdot \ rho _ {\ text {Fluid}} = V _ {\ mathrm {K {\ ddot {o}} rper}} \ cdot \ rho _ {\ mathrm {K {\ ddot {o}} rper}}}$

Oppdagelse av Archimedes-prinsippet

Eksperiment for å bevise Archimedes 'prinsipp, illustrasjon fra 1547

Archimedes hadde fått i oppdrag av kong Hieron II av Syracuse å finne ut om kronen hans var laget av rent gull som bestilt, eller om materialet hadde blitt strukket av billigere metall. Denne oppgaven utgjorde opprinnelig problemer for Archimedes, siden kronen selvfølgelig ikke kunne bli ødelagt.

I følge tradisjonen hadde Archimedes endelig den reddende ideen da han gikk inn i et badekar fylt til randen for å bade og vannet rant over. Han innså at mengden vann som hadde rant over var nøyaktig volumet på kroppen hans. Angivelig løp han deretter gatene naken som han var og ropte " Eureka !" ("Jeg fant det") .

For å løse det gitte problemet dyppet han kronen en gang, og deretter en gullstang , som veide like mye som kronen, i en vannbeholder fylt til randen og målte mengden vann som rant over. Siden kronen fortrengte mer vann enn gullstangen og derfor var mer voluminøs for samme vekt, må den ha vært laget av et materiale med lavere tetthet, dvs. ikke rent gull.

Denne historien ble overlevert av den romerske arkitekten Vitruvius .

Selv om legenden forteller at oppdagelsen av Archimedes-prinsippet var basert på denne historien, ville Archimedes 'eksperiment fungere med en hvilken som helst annen væske. Det mest interessante med Archimedes 'prinsipp, nemlig opprettelsen av oppdrift og dermed beregningen av væskens tetthet, spiller ingen rolle i denne oppdagelseshistorien.

Fysisk avledning

Et legeme belastes av trykket som det omgivende mediet (væske eller gass) utøver på overflaten. En betraktet del av overflaten med innholdet er valgt så liten at den er praktisk talt flat og at trykket er konstant i sitt område . La enhetsvektoren til den ytre overflaten være normal på delflaten . Deretter utøver mediet kraften ${\ displaystyle p> 0}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {n}}$

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {A} = - pA {\ vec {e}} _ {n}}$

på seksjonen. En summering av disse kreftene over alle seksjoner gir den totale løftekraften.

For avledning av det arkimediske prinsippet

Lastekapasitet til en gummiballong fylt med hydrogen

De Arkimedes prinsipp gjelder bare strengt hvis det fortrengte medium er inkompressibel (ikke komprimerbart). For væsker som B. vann, dette er godt oppfylt, så i det følgende vil vi anta et legeme som er nedsenket i en væske av tettheten (strengt tatt avhengig av temperaturen) . ${\ displaystyle \ rho}$

I væsken hviler vekten av en væskesøyle av massen på en horisontal overflate av størrelsen i dybden . Trykket på denne dybden er derfor ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle m = \ rho Az}$

${\ displaystyle p (z) = {\ frac {mg} {A}} = \ rho gz}$.

Hvis høydeforskjellene ikke er for store, gjelder en tilsvarende trykkurve også i luften eller andre gasser (dvs. kompressibiliteten har ingen betydning; med store høydeforskjeller må en variabel tetthet tas i betraktning). Derfor gjelder følgende hensyn også for realistisk store luftskip eller ballonger. ${\ displaystyle z}$

For enkle geometriske former kan gyldigheten av Archimedes-prinsippet beregnes for hånd ved hjelp av enkle midler. For en kuboid med en base og en høyde som er vertikalt nedsenket i væsken, oppnår man for eksempel: ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle h}$

• Kraft på den øvre basen med overflaten normal : ${\ displaystyle - {\ vec {e}} _ {z}}$

  ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ text {o}} = - p (z_ {0}) A (- {\ vec {e}} _ {z}) = \ rho gz_ {0} A {\ vec {e}} _ {z}}$

• Kraft på underbunnen med overflaten normal : ${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {z}}$

  ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ text {u}} = - p (z_ {0} + h) A {\ vec {e}} _ {z} = - \ rho g (z_ {0 } + h) A {\ vec {e}} _ {z}}$

• Krefter på sideflatene avbryter alltid hverandre.
• Så den totale løftekraften er

  ${\ displaystyle {\ vec {F}} = {\ vec {F}} _ {\ text {o}} + {\ vec {F}} _ {\ text {u}} = - \ rho ghA {\ vec {e}} _ {z} = - \ rho gV {\ vec {e}} _ {z}.}$

Dette er det fortrengte volumet, dvs. den fortrengte massen og dens vekt. Archimedean-prinsippet blir dermed oppfylt. Det negative tegnet utelates hvis -aksien velges oppover. ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ rho V}$${\ displaystyle \ rho Vg}$${\ displaystyle z}$

For en kropp av hvilken som helst form , oppnås den totale oppdriftskraften fra overflaten integrert ${\ displaystyle {\ mathcal {V}}}$

${\ displaystyle {\ vec {F}} = - \ oint _ {\ partial {\ mathcal {V}}} p \, \ mathrm {d} {\ vec {A}}.}$

Med integrert teorem

${\ displaystyle \ oint _ {\ partial {\ mathcal {V}}} p \, \ mathrm {d} {\ vec {A}} = \ int _ {\ mathcal {V}} \ operatorname {grad} p \ , \ mathrm {d} V}$

og følger av det ${\ displaystyle \ operatorname {grad} p = \ rho g {\ vec {e}} _ {z}}$

${\ displaystyle {\ vec {F}} = - \ rho gV {\ vec {e}} _ {z}}$.

weblenker

• Interaktivt eksperiment på størrelsen på oppdriftskraften på en kropp som er nedsenket i en væske
• eksperiment: Eksperimentet til Archimedes. I: mister-mueller.de. Arkivert fra originalen 25. september 2016 (kopi av eksperimentet med enkle midler).; åpnet 30. november 2020 

Individuelle bevis

1. ↑ Acott, CJ: De dykkende "Law-ers": Et brev gjenopptas av deres liv. 1999 ( rubicon-foundation.org [åpnet 3. mars 2020]). 
2. ↑ Károly Simonyi: fysikkens kulturhistorie . Harri Deutsch, Thun, Frankfurt a. M. 1995, ISBN 3-8171-1379-X , pp. 89 f .  Archimedes formulert i henhold til Simonyi: “Ethvert legeme som er lettere enn vann, når det er nedsenket, strever oppover med en kraft som skyldes forskjellen mellom vekten av vannet som er forskjøvet av kroppen og vekten av selve kroppen. Men hvis kroppen er tyngre enn vannet, blir den trukket ned med en kraft som skyldes forskjellen mellom kroppsvekten og vekten av vannet den fortrenger. "