Like stor overflate

En likeverdig overflate eller parallell overflate er en overflate i geometri som løper rundt en overflate på en konstant avstand . Dette generaliserer konseptet med parallellkurven , som går rundt en referanselinje med konstant avstand. 2-dimensjonale ekvistante overflater blir også referert til som parallelle flater .

La funksjonen være kontinuerlig differensierbar og ha et regelmessig sett med nuller (dette er da et dimensjonalt delmanifold av ). For tilstrekkelig små til at i lik avstand hypersurface er adskilt fra settet med nuller i   konvolutten av den kuler flokk . ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {r}}$${\ displaystyle no}$${\ displaystyle R ^ {n}}$${\ displaystyle d> 0}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (0)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle {\ big (} S_ {d} ({\ bar {x}}) {\ big)} _ {{\ bar {x}} \ in f ^ {- 1} (0)}}$

Sfæresettet er gitt av ligningene

${\ displaystyle {\ begin {matrise} \ | x - {\ bar {x}} \ | ^ {2} & = & d ^ {2} \\ f ({\ bar {x}}) & = & 0 \ end {matrise}}}$

beskrevet.

Konvolutten har i hvert punkt med en av kulene (parametrisert av ) tangentområdet i punktet til  felles. Tangentvektorene til sfæren på punktet tilfredsstiller ligningene ${\ displaystyle x \ i A}$${\ displaystyle {\ bar {x}}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle dx \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle S_ {d} ({\ bar {x}})}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} (1) && f ({\ bar {x}}) & = & 0, \\ (2) && \ | x - {\ bar {x}} \ | ^ {2} & = & d ^ {2}, \\ (3) & \ quad & (x - {\ bar {x}}) ^ {T} dx & = & 0. \ end {matrix}}}$

Når det gjelder konvolutten, endres også skjærparametrene generelt . I tillegg til ligningene (1) og (2) , resulterer ligningene også for konvensjonens tangensielle vektorer ${\ displaystyle {\ bar {x}}}$${\ displaystyle d {\ bar {x}} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} (4) & \ quad & (x - {\ bar {x}}) ^ {T} (dx-d {\ bar {x}}) & = & 0, \\ ( 5) && f '({\ bar {x}}) \; d {\ bar {x}} & = & 0. \ end {matrix}}}$

Fra (3) og (4) følger det

${\ displaystyle (6) \ quad (x - {\ bar {x}}) ^ {T} d {\ bar {x}} = 0}$

for alle som tilsvarer tangensielle vektorer i konvoluttens tangensielle rom, derfor for alle på grunn av (5) ${\ displaystyle d {\ bar {x}}}$${\ displaystyle dx}$

${\ displaystyle d {\ bar {x}} \ in \ ker f '({\ bar {x}}) = \ left (\ operatorname {image} \ left (f' ({\ bar {x}}) ^ {T} \ right) \ right) ^ {\ perp}.}$

I henhold til (6) resulterer dette

${\ displaystyle (x - {\ bar {x}}) \ i \ left (\ left (\ operatorname {image} (f '({\ bar {x}}) ^ {T} \ right) ^ {\ perp } \ right) ^ {\ perp} = \ operatorname {image} (f '({\ bar {x}}) ^ {T}),}$

som det følger at  med ${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {R} ^ {r}}$

${\ displaystyle (7) \ quad (x - {\ bar {x}}) = f '({\ bar {x}}) ^ {T} \ lambda}$

gir.

Med (1), (2) og (7) har man  skalære ligninger for de  ukjente  . Under forutsetningene som er gjort, definerer disse ligningene således en  dimensjonell manifold, som da er nettopp konvolutten til settet med kuler - dvs. den like store overflaten. ${\ displaystyle n + r + 1}$${\ displaystyle 2n + r}$${\ displaystyle x, {\ bar {x}}, \ lambda}$${\ displaystyle n-1}$

Alternativ geometrisk tolkning: Vektorene  danner et maksimalt sett med lineært uavhengige normale vektorer på manifolden  i punktet  . Ligning (7) sier at vektoren  fra punktet  til det tilsvarende punktet  på ekvistanten er nøyaktig vinkelrett på manifolden  og ligningen (2) som punktet skal ha  avstanden  fra  . ${\ displaystyle \ left (f '_ {k} ({\ bar {x}}) \ right) ^ {T}}$ ${\ displaystyle (k = 1, \ ldots, r)}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (0)}$${\ displaystyle {\ bar {x}}}$${\ displaystyle (x - {\ bar {x}})}$${\ displaystyle {\ bar {x}}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (0)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (0)}$

Søknadseksempler

Roterende motor

1. Anvendelse i formkonstruksjon: Støpeprosesser (sprøytestøping, støpegods, permanent støpestøping, etc.) brukes ofte til produksjon av masseproduserte artikler. Innsiden av formen har den negative konturen av artikkelen som skal produseres som et hulrom. En konstant veggtykkelse er avgjørende for mange artikler. Derfor er mestring av ekvistant av stor betydning i dette området.
2. Den ekvistante funksjonen tilbys av de fleste CAD- systemer. For eksempel i AUTOCAD er den tyske kommandoen “flytt". Med dette kan du for eksempel veldig raskt definere en drenering med en spesifisert avstand rundt et hus.
3. I en rotasjonsmotor er konvoluttkurven til trochoiden ( hjulkurven ) til rotoren på avstand d en like stor overflate.