Betydelige steder

Lag et nummer er viktige tall : (også gjeldende / gyldige poeng / tall kalt, hvis de er betydningsfulle). For dette må mulige avvik fra dette tallet ligge innenfor grensene for avviket fra det siste sifferet. Ledende nuller er ikke meningsfylte. Om avslutning av nuller er viktig, må stilles spørsmål ved fra sak til sak basis - en passende notasjon kan gi klarhet her.

I vitenskap og teknologi har mange numeriske verdier sin opprinnelse som en målt verdi som er gjenstand for en måleusikkerhet . Dette gjør den numeriske verdien usikker ved et desimaltegn; alle steder med lavere verdi er da meningsløse. Omvendt er antall signifikante sifre det minste antallet sifre som kreves for en gitt numerisk verdi i vitenskapelig informasjon uten tap av nøyaktighet.spesifisere. Det er en naturlig tendens til å "spille det trygt" og utføre en beregning til et større antall desimaler enn eksperimentell nøyaktighet garanterer. I et slikt tilfelle representerer beregningsresultatet feil mengde som skal bestemmes. Fristelsen til å dra med for mange desimaler er stor når du bruker lommeregner. En person som er kjent med de anerkjente teknologireglene (DIN, GUM ), indikerer hvor “god” en numerisk verdi er ved bare å spesifisere punktene som er kjent med sikkerhet, pluss en til som er usikker.

Stavekontroll av tall i desimalsystemet

Betydelige sifre av et tall med desimaler

Som desimal i er desimalrepresentasjon av et antall brukte sifre til høyre for henviste kommaer . Antall desimaler må skilles fra antall viktige steder.

Eksempler på sifre i et tall:

Nummer	Betydelige steder	Desimaler
98,76	4. plass	2
0,009 876	4. plass	Sjette

Betydelige sifre av et tall uten desimaler

Det er vanskeligere å uttale seg om de signifikante sifrene - for eksempel om en “60” inneholder ett, to eller enda flere signifikante sifre. Avhengig av kontekst, må et tall evalueres nøyaktig hvis det f.eks. B. brukes som et naturlig tall ; eller det skal tolkes som et avrundet tall hvis det brukes som en numerisk verdi for en fysisk størrelse.

Vitenskapelig notasjon med en effekt på ti faktorer bidrar til å unngå tvetydighet med en verdi på 60 i forhold til en størrelse bestemt ved bruk av måleteknologi . Dette betyr at en slutt null kan flyttes til en desimal. Et ikke-betydelig null er utelatt; ved å skrive null markeres det som signifikant:

• et betydelig siffer: 6 ·10 ¹
• to viktige sifre: 6.0 ·10 ¹
• tre signifikante sifre: 60,0 eller 6,00 ·10 ¹

Ytterligere eksempler

Nummer	Betydelige steder	Desimaler
9 876 000,00 ·10 −2	9	2
9 876 000	uforklarlig: 4 til 7	0
98 760 ·10 2	uforklarlig: 4 eller 5	0
987,6 ·10 4	4. plass	1
9 876 ·10 6	4. plass	3

Nøyaktig kjente verdier

Noen numeriske verdier innen vitenskap og teknologi er kjent nøyaktig, dvs. uten måleusikkerhet. Dette kan være

• Hele tall . Eksempel: antall protoner i en atomkjerne.
• Tall med et endelig antall desimaler. Eksempel: Plancks konstante h ble brukt til å definere måleenhetene til å være nøyaktig 6,62607015·10 ⁻³⁴  Js sett.
• Nøyaktig kjente tall med et uendelig antall desimaler.

I slike tilfeller er begrepet betydningsfulle sifre ikke aktuelt fordi antall oppgitte sifre ikke tilsvarer målenøyaktigheten. Når det gjelder et uendelig antall desimaler, er det vanlig å skrive ellipser etter det sist angitte stedet for å indikere at et hvilket som helst antall ytterligere steder kan spesifiseres.

Definisjon og punktregel

DIN 1333 definerer signifikante sifre som det første sifferet som er forskjellig fra null og opp til avrundingspunktet . Dette er det siste sifferet som fremdeles kan spesifiseres etter avrunding; se notasjon av tall .

Sifrene som skal utelates ved avrunding, bør ikke være polstret med nuller. Ved å forskyve desimaltegnet og kraften til ti-faktor, kan avrundingspunktet flyttes til det ene stedet eller et desimalsted, se også målt verdi .

I måleteknologien kan desimalpunktets posisjon ikke bare justeres ved hjelp av kraften til ti faktor, men også ved å velge enheten (f.eks. For lengde mm → cm → m → km).

Eksempel: Alle som begrenser en oppføring 20 km på 20 000 m, har fylt ut med sluttenuller, som ikke er signifikante. Hvis lengden kan spesifiseres til innen en meter, må 20.000 km skrives på forhånd (alle sifrene opp til avrundingspunktet). Når et tall er gitt uten ytterligere informasjon, tolkes det generelt slik at det siste tallet er avrundet. Antallet 20.000 antas å representere en verdi mellom 19.999,5 og 20.000,5.

Resultat av en beregning

Her er to tommelfingerregler først; en mer pålitelig prosedyre følger i neste kapittel.

• Resultatet av en tillegg / subtraksjon har like mange desimaler som tallet med færrest desimaler.
• Resultatet av en multiplikasjon / divisjon får like mange signifikante sifre som tallet med færrest signifikante sifre:

tall	Minste antall desimaler	Minste antall signifikante sifre	Resultat
20,567 + 0,0007	3		20 568
12 + 1,234	0		13
12.00 + 1.234	2		13.23
12 000 + 1 234	3		13.234
1.234 · 3.33		3	4.11
1.234 · 0,0015		2	0,0019
28 · ${\ displaystyle \ pi}$		2	88

Resultatet avhenger også av om et av tallene er nøyaktig, og om antall sifre er løst før eller etter beregningen:

1. I den følgende tabellen i det første eksemplet er 3 en parameter som skal vurderes som eksakt ; de vesentlige sifrene kommer fra verdien 1.234 i betydningen av en målt verdi.
2. I det andre eksemplet er tallet 1.234 en parameter; signifikante sifre kommer fra verdien 3, slik at det bare er ett signifikant siffer i resultatet.

parameter	Målt verdi	Betydelige steder	faktura	Resultat
3	1.234	4. plass	3·1.234	3,702
1.234	3	1		3 (før beregningen: 1.234 ≈ 1)
				4 (I følge beregningen: 3,702 ≈ 4)

Tips:

• Avrunding skal bare utføres så sent som mulig i fakturaen. Ellers kan flere avrundingsavvik legge opp til et større totalavvik. For å unngå denne utvidelsen, skal kjente mengder med minst ett siffer mer enn det som kan angis i resultatet brukes i midlertidige beregninger.
• Hvis en diameter på en sirkel måles til nærmeste millimeter, og omkretsen beregnes med nærmest mulig tilnærming til pi , kan omkretsen i beste fall igjen gis med millimeters presisjon , til tross for beregningen med en kanskje ti-sifret faktor.
• Hvis en tegning forstørres til en skala fra 10: 1 og koordinatene tegnes innen ½ millimeter, er forstørrelsen nøyaktig til 5 millimeter. Antallet signifikante sifre i koordinatene endres ikke på grunn av skaleringsfaktoren 10, som antas å være nøyaktig.

Viktige steder i måleteknologi

For målingsteknologi er det alltid den sikreste metoden å observere feilgrensene for inngangsdataene og å bestemme effektene på resultatet av en beregning, se feilutbredelse . Nøyaktige tall har en feilmargin på null. Feilgrensen for resultatet gir informasjon om hvilket siffer som fremdeles er signifikant som det laveste sifferet.

Eksempel: En sirkelradius måles til å være 17,5 cm. Omfanget er søkt . I motsetning til det ovennevnte, bør det ikke spesifiseres med et stort antall desimaler, men bare med et antall sifre som samsvarer med antall sifre . ${\ displaystyle U = 2 \ pi r}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle r}$

Nøyaktig: ${\ displaystyle 2 = 2 {,} 000 \ cdot (1 \ pm 0 \, \%)}$

Avrundet: ${\ displaystyle \ pi = 3 {,} 14 \ pm 0 {,} 005 = 3 {,} 14 \ cdot (1 \ pm 0 {,} 2 \, \%)}$

Et tall avrundet etter kommersielle eller matematiske regler kan avvike mellom −5 og +5 på den første avskjæringsposisjonen.

Målt: ${\ displaystyle r = \ mathrm {17 {,} 5 \, cm \ pm 0 {,} 1 \, cm = 17 {,} 5 \, cm \ cdot (1 \ pm 0 {,} 6 \, \% )}}$

Det antas ut fra den målte verdien at det minste signifikante tallet kan spesifiseres feil med ± 1.

Faktura: ${\ displaystyle U = 109 {,} 90 \, \ mathrm {cm \ cdot (1 \ pm (0 + 0 {,} 2 + 0 {,} 6) \, \%) = 109 {,} 90 \, cm \ pm 0 {,} 9 \, cm}}$

Resultat:, Det er ikke mulig å spesifisere noe mer presist, for i dette tilfellet er første desimal med ± 9 allerede maksimalt usikker. Det er derfor bedre å si at neste høyere siffer maksimalt kan være feil ± 1: Resultatet er nøyaktig til maksimalt en centimeter.${\ displaystyle U = (110 \ pm 1) \, \ mathrm {cm}}$

Med andre ord: slutten på null på stedet for 110 er viktig i dette tilfellet. For å gjøre dette klart uten å skrive ned feilgrensene, er det bedre å skrive fordi den eksplisitte spesifikasjonen av desimaltegnet viser at det ble bestemt å være signifikant i denne beregningen. ville ha samme formål. Det er ikke tillatt å skrive eller , fordi slutten på null eller slutt på ni ikke er et signifikant siffer på grunn av feilgrensen.${\ displaystyle U = 1 {,} 10 \, \ mathrm {m}}$${\ displaystyle U = 11 {,} 0 \, \ mathrm {dm}}$${\ displaystyle U = 1100 \, \ mathrm {mm}}$${\ displaystyle U = 1099 \, \ mathrm {mm}}$

Selv en mer nøyaktig ville bare ha produsert et resultat av , antall sifre i resultatet ville være det samme.${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle U = 109 {,} 96 \, \ mathrm {cm} \ cdot (1 \ pm 0 {,} 6 \, \%) = 109 {,} 96 \, \ mathrm {cm} \ pm 0 { ,} 7 \, \ mathrm {cm}}$

Det faktum at i dette eksemplet er resultatet bare centimeter nøyaktig, selv om den opprinnelige målingen ble utført med millimeter presisjon, viser viktigheten av antall sifre for måleproblemer: Fordi resultatet er omtrent en styrke på ti større enn spesifikasjonen og saken her er ugunstig, den skifter også Nøyaktighet til kraften fra ti fra millimeter til centimeter. Størrelsen på nøyaktigheten forblir konstant under multiplikasjonsberegningen bare i forhold til den respektive verdien, den millimeternøyaktige målingen garanterer ikke et resultat som er nøyaktig til millimeteren. I mer kompliserte beregninger kan nøyaktigheten ikke lenger estimeres ut fra antall signifikante sifre, men bare en korrekt feilutbredelsesberegning garanterer påliteligheten av et resultat. Det deretter bestemte antallet sifre representerer deretter resultatet av feilanalysen.

Indikasjon på viktige steder i måleteknologi i henhold til GUM

I henhold til den internasjonalt anerkjente "Guide to the Expression of Usikkerhet i måling (GUM)", blir antall meningsfulle signifikante sifre (basert på en bestemmelse av måleusikkerheten ) gitt ved følgende fremgangsmåte:

• Utfør måling og bestem usikkerhet,
• Rund resultatet av den utvidede usikkerheten til maksimalt to signifikante sifre,
• Rund av måleresultatet til de samme stedene.

Individuelle bevis

1. ↑ ^{a b c d} DIN EN ISO 80000-1: 2013-08 Størrelser og enheter - Del 1: Generelt. Kappe. 7.3.4.
2. ^ Daniel C. Harris: Lærebok for kvantitativ analyse. Springer, 8. utgave 2014, s. 64.
3. ↑ Wilbert Hutton, sitert i Richard E. Dickerson: Principles of Chemistry. Walter de Gruyter, 2. utgave 1988, s. 997.
4. ↑ Klaus Eden, Hermann Gebhard: Dokumentasjon innen måle- og testteknologi: måling - evaluering - visning - protokoller - rapporter - presentasjoner. Springer Vieweg, 2. utgave 2014, s.27.
5. ↑ Ulrich Müller: Kjemi: Den grunnleggende kjennskapen til kjemi. Georg Thieme, 12. utgave 2015, s.29.
6. ↑ DIN 1333: 1992-02 figurer. Kappe. 10.2.2.
7. ↑ Josef Draxler, Matthäus Siebenhofer: Prosessteknikk i eksempler: problemer, tilnærminger til løsninger, beregningsmetoder. Springer Vieweg, 2014, s.3.
8. ↑ Douglas C. Giancoli: Fysikk: Videregående skole. Pearson School, 2011, s.5.
9. ↑ Evaluering av måledata - Veiledning til uttrykk for usikkerhet i måling (GUM). JCGM 100: 2008.