Löwenheim-Skolems teorem

Den Löwenheim-Skolem teoremet sier at en Tellbar av uttalelser av den første bestillingen predikatlogikk som er oppfylt i en modell med en uncountably uendelig stor universet er alltid også oppfylt i en modell med en countably uendelig stor domene.

Forklaring og konsekvenser

Noen viktige setninger i setningen blir kort forklart: En modell representerer (i en matematisk beskrivbar form) visse omstendigheter som eksisterer når visse utsagn er sanne. Man sier da at modellen oppfyller uttalelsene . Den domene (også kalt det enkelte område eller carrier) inneholder de enkeltpersoner som eksistens antas i modellen. Et sett sies å være uendelig uendelig hvis det er så stort som settet med naturlige tall . Et utallig uendelig sett er større enn settet med naturlige tall. Et sett er minst like stort som et sett hvis det er en injeksjonsfunksjon av å . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$

Et resultat av modellteori som er lett å bevise i forhold til setningen til Löwenheim og Skolem sier: Hvis et sett med utsagn blir tilfredsstilt av en viss uendelig modell, blir det alltid også tilfreds med en modell med et større domene. Sammen med Löwenheim-Skolem-teoremet resulterer det i at et tellbart sett med proposisjoner som i det hele tatt har en uendelig modell alltid også har en modell med et utallig uendelig domene. Fra teoremet følger det blant annet at førsteordens predikatlogikk ikke kan beskrive uendelige strukturer (spesielt naturlige tall) på en entydig måte med unntak av isomorfisme .

Begrensningen til predikatlogikken på første nivå er viktig; setningen kan ikke overføres til predikatlogikken på andre nivå.

Hvis et hovednummer ikke er mindre enn kraften til det vurderte konsistente settet med utsagn, har dette alltid en maktmodell . Spesielt er det modeller av alle størrelser. Denne påstanden blir også referert til som Löwenheim-Skolem-setningen, noen ganger Löwenheim-Skolem - Tarski- setningen . ${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle \ kappa}$

historie

Teoremet ble først bevist av Leopold Löwenheim i 1915. Historisk sett er det det første ikke-trivielle resultatet av modellteorien.

I 1920 generaliserte Albert Thoralf Skolem Löwenheim resultatet. På den ene siden viste han at antall utsagn i seg selv kan være uendelig uendelig (mens Löwenheim bare hadde bevist sin teorem for individuelle utsagn), på den andre siden beviste han at et utellelig domene alltid kan begrenses til et tellbart underdomen mens han opprettholder oppfyllelsesforholdet (For sistnevnte må imidlertid aksiomet til valg antas). Skolem bruker den berømte Skolem-formen i sitt bevis .

I moderne representasjoner av logikk blir setningen vanligvis presentert som en følge av beviset for fullstendighetssetningen til predikatlogikk. På tidspunktet for Löwenheim og Skolem var fullstendigheten ennå ikke bevist, slik at de ikke kunne bygge videre på dette resultatet. Omvendt kunne i det minste Skolems bevis lett ha blitt forvandlet til et bevis på fullstendighet.

Skolem-paradokset

Hvis man antar at mengdeteorien Zermelo-Fraenkel er konsistent, har hvert endelig aksiomatisk system fra Zermelo-Fraenkel mengde teori en tellbar modell. Dette følger av Löwenheim-Skolem-teoremet og er allerede forklart ovenfor. Imidlertid kan det i Zermelo-Fraenkel mengde teori gis et endelig aksiomatisk system , slik at eksistensen av et utellelig sett følger. ${\ displaystyle \ Psi}$

Motsetningen løser seg imidlertid når man innser hva tellbarhet betyr i forhold til en modell. Vær et system av . Videre, hvis det er et sett som ikke kan telles i modellen , betyr dette at det ikke er noen overkastelse i denne modellen . Settet betegner settet med naturlige tall i forhold til modellen . Dette betyr imidlertid ikke at settet er utellelig selv fra metaspråket . ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ Psi}$${\ displaystyle A \ in M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle f \ colon {\ mathcal {N}} \ rightarrow A}$${\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$

Skolem selv så resultatet som paradoksalt , derav begrepet Skolems paradoks .

Hilary Putnams argument om modellteori

Teoremet Löwenheim-Skolem ble brukt på representasjonssystemer i filosofien av filosofen og logikeren Hilary Putnam for å underbygge følgende avhandling: Sannhetsallokering i alle mulige verdener løser ikke referansen til språklige uttrykk.

weblenker

• Timothy Bays:  Skolem's Paradox. I: Edward N. Zalta (red.): Stanford Encyclopedia of Philosophy .
• Richard Zach, Paolo Mancosu, Calixto Badesa: Utviklingen av matematisk logikk fra Russell til Tarski: 1900-1935. I: Leila Haaparanta (red.): Historien om moderne logikk. Oxford University Press, New York og Oxford 2009. s. 178 ff., Ucalgary.ca (engelsk).

Individuelle bevis

1. ^ Heinz-Dieter Ebbinghaus , Jörg Flum, Wolfgang Thomas: Introduksjon til matematisk logikk. 4. utgave. Spectrum Academic Publishing House, Heidelberg et al. 1996, ISBN 3-8274-0130-5 , kapittel VI, § 2, setning 2.4.
2. ↑ Wolfgang Rautenberg : Introduksjon til matematisk logikk . 3. Utgave. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0578-2 , pp. 87 ff . 
3. ↑ Wolfgang Rautenberg : Introduksjon til matematisk logikk . 3. Utgave. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0578-2 , pp. 91 . 
4. ^ Hilary Putnam: Reason, Truth and History. Cambridge University Press, Cambridge 1981, ISBN 0-521-23035-7 .
5. ^ Hilary Putnam: Realisme og fornuft. Cambridge University Press, Cambridge et al. 1983, ISBN 0-521-24672-5 ( Philosophical Papers 3).