Carnot's teorem (plumb bobs)

Carnots setning for lodde bobber på trekantsider:
blått område = rødt område

Det sett av Carnot (etter Lazare Nicolas Marguerite Carnot ) tilveiebringer en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for hvorvidt tre rette linjen på de tre (forlengede) sidene i en trekant er vinkelrett, skjærer hverandre i et punkt. I tillegg kan det også forstås som en generalisering av pythagorasetningen .

uttalelse

For en trekant med sider er det gitt tre rette linjer, som hver er vinkelrett på en (utvidet) side av trekanten og som krysser hverandre på et felles punkt . Betegner de basispunkter på de (forlengede) trekantsidene med , da det følgende ligning oppfylles: ${\ displaystyle \ trekant ABC}$${\ displaystyle a, b, c}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle a, b, c}$${\ displaystyle P_ {a}, P_ {b}, P_ {a}}$

${\ displaystyle | AP_ {c} | ^ {2} + | BP_ {a} | ^ {2} + | CP_ {b} | ^ {2} = | BP_ {c} | ^ {2} + | CP_ { a} | ^ {2} + | AP_ {b} | ^ {2}}$.

Det motsatte av denne proposisjonen gjelder også, det vil si: Hvis basispunktene til tre perpendikularer oppfyller ligningen ovenfor, krysses de på et felles punkt.

Spesielle tilfeller

Hvis trekanten har rett vinkel og skjæringspunktet ligger på et av de to hjørnepunktene, eller , oppnår man den pythagoreiske teoremet. Er for eksempel på , da gjelder , , , , og , og leverer ligningen over . ${\ displaystyle \ trekant ABC}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle | AP_ {b} | = 0}$${\ displaystyle | AP_ {c} | = 0}$${\ displaystyle | CP_ {a} | = 0}$${\ displaystyle | CP_ {b} | = b}$${\ displaystyle | BP_ {a} | = a}$${\ displaystyle | BP_ {c} | = c}$${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}$

Hvis de tre rette linjene er vinkelrett på sentrum , så , og . Derfor eksisterer ovenstående ligning, og som et spesielt tilfelle får vi teoremet om at vinkelrettene til en trekant krysser et punkt. ${\ displaystyle | AP_ {c} | = | BP_ {c} |}$${\ displaystyle | BP_ {a} | = | CP_ {a} |}$${\ displaystyle | CP_ {b} | = | AP_ {b} |}$

Hvis de tre rette linjene er forlengelsene av de trekantede høydene , går de rette linjene gjennom hjørnepunktene. Høydeskille trekantens i to rettvinklede trekanter, for hvilken den pytagoreiske læresetning gir ligningene og og følger ved å ta differansen . På samme måte, eller ved mentalt å rotere trekanten, forholdene og følge . Hvis du legger til disse tre forholdene, får du ${\ displaystyle CP_ {c}}$${\ displaystyle | AP_ {c} | ^ {2} + | CP_ {c} | ^ {2} = b ^ {2}}$${\ displaystyle | BP_ {c} | ^ {2} + | CP_ {c} | ^ {2} = a ^ {2}}$${\ displaystyle | AP_ {c} | ^ {2} - | BP_ {c} | ^ {2} = b ^ {2} -a ^ {2}}$${\ displaystyle | BP_ {a} | ^ {2} - | CP_ {a} | ^ {2} = c ^ {2} -b ^ {2}}$${\ displaystyle | CP_ {b} | ^ {2} - | AP_ {b} | ^ {2} = a ^ {2} -c ^ {2}}$

${\ displaystyle | AP_ {c} | ^ {2} - | BP_ {c} | ^ {2} + | BP_ {a} | ^ {2} - | CP_ {a} | ^ {2} + | CP_ { b} | ^ {2} - | AP_ {b} | ^ {2} = b ^ {2} -a ^ {2} + c ^ {2} -b ^ {2} + a ^ {2} -c ^ {2} = 0}$,

det vil si ligningen fra setningen over består. Så vi får også setningen til det vertikale skjæringspunktet som et spesielt tilfelle av Carnots teorem.

litteratur

• Martin Wohlgemuth (red.): Matematisk for avanserte nybegynnere. Flere populære innlegg fra Matroids Matheplanet. Springer, 2010, ISBN, 9783827426079, s. 273-276.
• Alfred S. Posamentier , Charles T. Salkind: Challenging Problems in Geometry . Dover, New York: Dover, 1966, s. 85-86

weblenker

• Florian Modler: Glemte setninger på trekanten - Carnots setning. På: Matroids Math Planet.