Srinivasa Ramanujan

Srinivasa Ramanujan

Srinivasa Ramanujan, FRS ( tamilsk : ஸ்ரீனிவாஸ ராமானுஜன் , sriːniˈʋaːsə raːˈmaːnudʒən ; også Srinivasa Ramanujan Iyengar; * 22. desember 1887 i Erode ; † 26. april 1920 i Chetpet , Madras ) var en indisk matematiker . Han tilegnet seg sin matematiske kunnskap autodidaktisk fra spesialistlitteratur og hadde et ekstraordinært talent for å løse analytiske og tallteoretiske problemer intuitivt, vanligvis uten å kunne gi en løsning eller bevis .

Det patronymiske Srinivasa ble for det meste forkortet som S. av Ramanujan. Ramanujan var kallenavnet hans. Etternavnet Iyengar, som også indikerer kastetilhørighet, er valgfritt. Ramanujan betyr "den yngre broren (anuja) av Rama ", dette navnet ble også valgt med tanke på Ramanuja .

Hans matteferdigheter ble oppmuntret på skolen, men studiene hans mislyktes fordi han forsømte ikke-matematiske fag. Han bodde på livsnæringsnivå og gjorde matematikk privat og skrev ned funnene i såkalte "notatbøker". Forsøk på vitenskapelig anerkjennelse lyktes først til den britiske matematikeren Godfrey Harold Hardy anerkjente talentet sitt i 1913 og førte ham til England, hvor han gjorde mange viktige oppdagelser. Seks år senere kom Ramanujan tilbake til India som en kjent forsker og døde i 1920 bare 32 år gammel. Han måtte slite med helseproblemer hele livet.

Liv

Ramanujans fødselshus i Erode, Alahiri Street

Ramanujans hjem på Sarangapani Street i Kumbakonam

Gopuram av Sarangapani-tempelet i Kumbakonam, hvor Ramanujan vokste opp. Gaten der foreldrenes hjem lå, ledet direkte til tempelet.

Videregående skole i Kumbakonam som Ramanujan gikk på. En hall der er oppkalt etter Ramanujan.

Ungdom og utdanning

Srinivasa Ramanujan ble født 22. desember 1887 i en familie av ortodokse tamilske brahmaner fra Iyengar- kaste . Etter at han ble født i Erode , hvor besteforeldrene til moren bodde og hvor moren tradisjonelt gikk for å føde, vokste han opp i foreldrenes hjem (moren kom tilbake dit et år etter fødselen) i Kumbakonam, opprinnelig i et lite hus på Sarangapani Street. Hans far K. Srinivasa Iyengar jobbet som kontorist i en sari- butikk, hans mor Komalatammal Srinivasa var en utdannet husmor og jobbet som sanger av liturgiske sanger ( bhajan ) i et nærliggende tempel . Halvparten av inntekten gikk til tempelet, den andre halvparten til sangerne. Moren mottok 5 til 10 rupees i måneden, sammenlignet med farens inntjening på 20 rupees i måneden. Familien levde under dårlige forhold og måtte flytte ofte. Tre av hans fire brødre, som ble født senere, døde i barndommen. Selv som småbarn i Erode skilte han seg ut for sin følsomhet og stædighet - så han kastet rundt i skitten på gulvet når han ikke fikk det han ønsket å spise. Han snakket knapt de første tre årene av sitt liv, men tok raskt igjen da han lærte å uttale en tradisjonell metode ved å tegne de tamilske bokstavene i et rislag på bakken under veiledning av bestefaren.

I desember 1889 ble Ramanujan syk av kopper , som drepte tusenvis av mennesker i regionen. Så dro han med moren til byen Kanchipuram , hvor besteforeldrene fra Erode tidligere hadde flyttet.

1. oktober 1892, i en alder av fire år, gikk han inn i førskolen og i mars 1894 Telugu Medium School . Da mistet bestefaren kontoret som dommer i Kanchipuram, og Ramanujan flyttet tilbake til Kumbakonam sammen med moren. Der gikk han på Kangayan Primary School. Etter farfars farens død ble han sendt for å bo hos besteforeldrene fra moren, som nå bodde i Madras (nå Chennai). Ramanujan unngikk skolen der og fikk en vakt for å sikre skoledeltagelse. Etter seks måneder flyttet han tilbake til Kumbakonam.

Ramanujan utviklet et nært forhold til moren sin, som reiste ham som brahmin og lærte ham tradisjonene, kastesystemet , Puranas , religiøse sanger og feiringen av Puja . Faren hans var sjelden hjemme.

På Kangayan Primary School, kort før hans tiårsdag, ble Ramanujan ansett som den beste studenten i distriktet på engelsk, tamil , geografi og regning . Deretter gikk han på Town High School og ble snart lagt merke til som et matematisk vidunderbarn : 11 år gammel var han matematisk overlegen to nabolagsstudenter. Han jobbet gjennom bøker om avansert trigonometri av Sidney Luxton Loney selv innen to år. Hans interesser og ferdigheter setter ham imidlertid i fare for å bli outsider:

I 1902 mottok Ramanujan sertifikater for spesielle meritter og utmerkelser og hjalp skoleledelsen med å distribuere de 1200 studentene blant de 35 medlemmene lærere. Han begynte å være interessert i uendelige rader . 16 år gammel kom han over boken A Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics av George Shoobridge Carr med over 5000 matematiske teoremer . Ved eksamen (1904) mottok han K. Ranganatha Rao-prisen for sine matematiske prestasjoner , som gjorde det mulig for ham å motta et stipend ved Government College i Kumbakonam, den såkalte "Cambridge South India". I en alder av 17 beregnet Ramanujan Euler-Mascheroni-konstanten i hodet til 15 steder bak desimaltegnet.

Han begynte å studere ved Government Arts College i Kumbakonam, men han forsømte de obligatoriske fagene engelsk og sanskrit og mistet derfor stipendiet igjen i januar 1905, slik at han måtte frafalle. I august 1905 flyttet han til Visakhapatnam og meldte seg inn på Pachaiyappa's College i Madras, men måtte gi opp denne studien på grunn av en sykdom og mislykkede eksamener.

Livet i India

Uten opplæring eller ansettelse levde Ramanujan på livsnæringsnivået og gikk ofte sulten. På morens anmodning giftet han seg 14. juli 1909 med ti år gamle S. Janaki Ammal (1899–1994), som fortsatte å bo hos foreldrene sine. Noen måneder senere ble han syk av hydrocele testis , en opphopning av væske i testikkeldekselet ; i januar 1910 ble han operert.

Etter å ha kommet seg, tok Ramanujan jobb som kontorist i Madras, og han ga også studenter fra Presidency College undervisning i matematikk. Han søkte distriktssjef V. Ramaswami Iyer, som nylig hadde startet det indiske matematiske samfunnet (IMS), med notatbøker med formler for en stilling i finansavdelingen. Iyer sa senere:

Iyer sendte Ramanujan med anbefalingspapirer for å være venner med matematikere i Madras. De anbefalte ham til distriktssjefen for Nelluru og sekretær for IMS, R. Ramachandra Rao. Ramanujan beregnet for ham elliptiske integraler , hypergeometriske funksjoner og sin egen teori om divergerende serier, og Ramachandra Rao anerkjente hans glans. I Madras fortsatte Ramanujan sitt arbeid med økonomisk hjelp fra Ramachandra Rao og ble publisert i magasinet til IMS.

Et av de første problemene han adresserte i heftet var å beregne uttrykket

${\ displaystyle {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {1 + 3 {\ sqrt {1+ \ dotsb}}}}}}.}$

Han ventet lenge på en løsning fra lesertallet, men ingen kom, så han presenterte løsningen selv. Han brukte identiteten :

${\ displaystyle x + n + a = {\ sqrt {ax + (n + a) ^ {2} + x {\ sqrt {a (x + n) + (n + a) ^ {2} + (x + n) {\ sqrt {\ dotso}}}}}}$

Med formuleringen av oppgaven samt løsningen 3. ${\ displaystyle x = 2, n = 1, a = 0}$

Et annet bidrag i Journal of the IMS var den sytten siders avhandlingen Noen egenskaper av Bernoullis tall , der han beskrev egenskapene til Bernoulli-tallene . Blant annet presenterte han en metode for beregning på grunnlag av andre Bernoulli-tall ved hjelp av rekursjonsrelasjoner. ${\ displaystyle B_ {n}}$

Innledningsvis inneholdt imidlertid Ramanujans tekster en rekke feil. Redaktøren av tidsskriftet, MT Narayana Iyengar, matteprofessor ved Central College i Bangalore , skrev:

I januar 1912 tiltrådte han en stilling i det generelle regnskapskontoret i Madras, hvor han mottok en månedslønn på 20 indiske rupi . Nå flyttet hans nå 13 år gamle kone hos ham. 1. mars 1912 flyttet han til regnskapskontoret til havnemyndigheten i Madras, hans månedslønn steg til 30 rupi. Arbeidet var lett for ham og ga ham tid til forskning. Hans overordnede, Sir Francis Spring, og hans kollega S. Narayana Iyer, også medlem av IMS, oppfordret ham til å gjøre det.

Side fra Ramanujans “Notatbøker” fra perioden 1903 til 1910

Kontakt med europeiske matematikere

Sir Francis Spring, S. Narayana Iyer, R. Ramachandra Rao og Edward William Middlemast forsøkte å interessere europeiske matematikere i Ramanujans arbeid. Men selv om Micaiah John Muller Hill (1856–1929) ved University College London innrømmet at Ramanujan hadde "en følelse av matematikk og noe talent", fant han sin mangel på akademisk utdannelse for stor til å bli akseptert av bedre matematikere, og la den med råd for fremtiden. I 1912 skrev Ramanujan til Henry Frederick Baker og Ernest William Hobson , to ledende matematikere ved Cambridge University . Han fikk tilbake dokumentene uten kommentar.

Til slutt skrev han til den internasjonalt kjente matematikeren Godfrey Harold Hardy , som også underviste ved Trinity College i Cambridge . Hans brev på ni sider fra 16. januar 1913, full av formler, begynte med ordene:

Hardy trodde han var bedrager i begynnelsen. Noen av formlene var kjent for ham, men de fleste av dem virket knapt troverdige. En av dem var på slutten av tredje side av brevet:

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ cfrac {1+ {x} ^ {2} / ({b + 1}) ^ {2}} {1+ {x} ^ {2} / ({a}) ^ {2}}} \ cdot {\ cfrac {1+ {x} ^ {2} / ({b + 2}) ^ {2}} {1+ {x} ^ {2} / ({a + 1}) ^ {2}}} \ cdot \ dotsm \; \; {\ rm {d}} x = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} \ cdot {\ frac {\ Gamma (a + {\ frac {1} {2}}) \ Gamma (b + 1) \ Gamma (ba + {\ frac {1} {2}})} {\ Gamma (a) \ Gamma (b + {\ frac {1} {2}}) \ Gamma (ba + 1)}}}$ Til ${\ displaystyle 0 <a <b + {\ frac {1} {2}}}$

Hardy mente at han kunne bevise denne ligningen, som inkluderte gammafunksjonen og en bestemt integral (et område der han trodde han var ekspert). Han lyktes senere med å gjøre dette, selv om bevisene om visse integraler i brevet ikke var enkle. Det som imidlertid fascinerte Hardy, var imidlertid resultatene oppført i brevet over uendelige serier, som f.eks

${\ displaystyle 1-5 \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) ^ {3} +9 \ left ({\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4}} \ right) ^ {3} -13 \ venstre ({\ frac {1 \ ganger 3 \ ganger 5} {2 \ ganger 4 \ ganger 6}} \ høyre) ^ {3} + \ dotsb = {\ frac {2} {\ pi}}}$

og

${\ displaystyle 1 + 9 \ left ({\ frac {1} {4}} \ right) ^ {4} +17 \ left ({\ frac {1 \ cdot 5} {4 \ cdot 8}} \ right) ^ {4} +25 \ venstre ({\ frac {1 \ ganger 5 \ ganger 9} {4 \ ganger 8 \ ganger 12}} \ høyre) ^ {4} + \ dotsb = {\ frac {2 ^ {\ frac {3} {2}}} {\ pi ^ {\ frac {1} {2}} \ left \ lbrace \ Gamma \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) \ right \ rbrace ^ {2}}}.}$

Det første resultatet kommer fra Gustav Bauer og hadde vært kjent i lang tid fra teorien om Legendre polynomer . Men det andre og to andre resultater var helt nye for Hardy og representerte, etter hans mening, et mye mer alvorlig problem enn det dukket opp ved første øyekast. De var relatert til teorien om hypergeometriske funksjoner , som først ble undersøkt av Leonhard Euler og Carl Friedrich Gauß . Hardy fant Ramanujans resultater på uendelige serier "mye mer fascinerende, og det ble raskt klart at Ramanujan hadde langt mer generelle teoremer og holdt tilbake mye." Resultatene som var nødvendige for å bevise det ble senere publisert i en monografi av Wilfrid Norman Bailey . Senere ble det funnet at Ramanujan allerede visste en identitet før 1910 ( Dougall-Ramanujan identitet ) som mange slike resultater kunne hentes fra.

Parthasarathy-tempelet i Madras, Triplicane-distriktet, rundt 1870. Gaten Ramanujan bodde på før han dro til England førte til bassenget i tempelet

Om resultatene på siste side av brevet angående elliptiske funksjoner , sa Hardy:

Hardy viste Ramanujans brev til sin venn og kollega John Edensor Littlewood . Littlewood overrasket også indianernes prestasjoner. Etter å ha diskutert de to engelskmennene, bemerket Hardy at bokstaven og formlene "er sannsynligvis det mest bemerkelsesverdige jeg noensinne har fått," og at Ramanujan "er en matematiker av høyeste kvalitet, en mann med både ekstraordinær originalitet og styrke" være. En annen kollega av Hardy, Eric Harold Neville , som underviser i Madras , fant med hensyn til teoremer og formler:

Hardys svar per brev nådde Ramanujan 8. februar 1913 i Madras. I det uttrykte briten sin interesse for indianernes arbeid:

De første dagene av februar før Ramanujan mottok brevet, ba Hardy de indiske myndighetene om å forberede Ramanujans tur til Cambridge. Ved ankomst av brevet kontaktet Arthur Davies, sekretæren for den rådgivende komiteen for indiske studenter , indianeren for å planlegge overfarten, men indianeren takket nei til invitasjonen til Storbritannia fordi han som ortodoks brahmin var redd han ville miste tilhører kasten hans hvis han dro til et fremmed land. Moren hans var også bekymret. I stedet sendte Ramanujan et nytt brev med formler til Hardy, som han la til ordene:

Gilbert Walker , en tidligere matteprofessor ved Cambridge, så på Ramanujans arbeid og ba ham om å komme til England også. Den indiske matematikeren B. Hanumantha Rao ønsket også å overtale landsmannen til å gjøre det. Han inviterte arbeidskollegaen S. Narayana Iyer til et intervju med utdanningsetaten, Institutt for matematikk, for å finne ut "hva vi kan gjøre for S. Ramanujan". På det møtet ble det avtalt å gi Ramanujan et to-årig stipendiat ved University of Madras . Han skulle motta 75 rupees i måneden.

I løpet av sin tid på universitetet fortsatte Ramanujan å publisere matematiske problemer og deres løsninger i tidsskriftet til IMS. I løpet av denne tiden utarbeidet han måter for å løse visse integraler lettere, reviderte integrerteorien til Giuliano Frullani fra 1821 og utviklet generaliseringer for estimering av tidligere tilsynelatende uløsbare integraler.

Whewell's Court, Trinity College, Cambridge

Til slutt ga Ramanujans foreldre samtykke til turen. 18. mars 1914 (andre kilder siterer 17. mars) gikk Neville og Ramanujan ombord på SS Nevasa i Madras og gikk inn i London 18. april. Ramanujan fant midlertidig innkvartering hos Neville på Chesterton Road i Cambridge. Neville fulgte ham på sine første skritt i England på en vennlig måte. I juni flyttet Ramanujan inn i rom på Whewell's Court på Trinity College , omtrent en fem-minutters spasertur fra Hardys rom på New Court på Trinity College. I oktober 1915 flyttet han til Bishop's Hostel, som var enda nærmere Hardy. Han bodde for det meste i Cambridge, selv i semesterferien, men besøkte av og til London, som British Museum og dyreparken, og en gang var han i en forestilling av Charleys tante . På grunn av hans vegetariske spisevaner, deltok han ikke i college-måltidene, og andre college-medlemmer så sjelden ham, for eksempel når han "vadet" over Great Court i tøfler, da han ikke hadde på seg noen av skoene som var vanlige i Vest.

Vitenskapelig suksess i England

Trinity College (Great Court)

New Court, Trinity College, Cambridge

Ramanujan (midt) og Hardy (helt til høyre) sammen med andre forskere ved Trinity College

Rett etter ankomsten begynte indianeren å jobbe. Først viste han Hardy-notatbøkene sine. Selv om han hadde sendt engelskmannen rundt 120 formler sammen i begge bokstavene, inneholdt bøkene betydelig flere tilnærminger, teoremer og løsninger. Hardy innså at noen beregninger var feil, og andre allerede var oppdaget, men flertallet var nye gjennombrudd. Littlewood og Hardy var dypt imponert, og førstnevnte sa:

Hardy trakk også paralleller mellom Ramanujan og Jacobi:

Det var alvorlige personlighets- og kulturforskjeller mellom Ramanujan og Hardy. Briten var ateist og så seg selv som en tilhenger av bevis for teorier og en viss strenghet og strenghet i vitenskapen hans. Indianeren var derimot en dypt religiøs person som også primært stolte på sin intuisjon under sitt arbeid og nesten aldri beviste sine setninger. I løpet av årene sammen prøvde Hardy også å fylle kunnskapen og de pedagogiske hullene som Ramanujan hadde i andre fagområder, men uten å påvirke hans matematiske inspirasjon. Samarbeidet var intens, og det var ikke uvanlig at Ramanujan jobbet tretti timer kontinuerlig og deretter sov i tjue timer.

16. mars 1916 ble Ramanujan tildelt Bachelor of Arts av forskning på grunnlag av anerkjennelsen av sitt forskningsarbeid (dette tilsvarer omtrent en doktorgrad; doktorgrader var bare tilgjengelig i Cambridge fra 1917 og var ikke nødvendigvis påkrevd etterpå, mer viktig var et fellesskap ved en høyskole), som hedret sitt arbeid med svært sammensatte tall , som ble publisert som en avhandling i tidsskriftet til London Mathematical Society . Hardy sa at disse beregningene var blant de mest uvanlige innen matematikk til dags dato, og at Ramanujan gjorde dem med ekstraordinær oppfinnsomhet. 6. desember 1917 ble Ramanujan valgt til London Mathematical Society .

Den 18. februar 1918 ble han stipendiat i Cambridge Philosophical Society . Tre dager senere dukket navnet hans opp på listen over kandidater til tittelen Fellow of the Royal Society ( FRS ). Han hadde blitt foreslått av mange kjente matematikere "for sin undersøkelse av elliptiske funksjoner og tallteori". Han ble støttet av blant andre Hardy, Littlewood, Percy Alexander MacMahon , Joseph Larmor , Thomas John I'Anson Bromwich , Seth Barnes Nicholson , Alfred Young , Edmund Taylor Whittaker , Andrew Russell Forsyth og Alfred North Whitehead . Men Hobson og Baker, de to professorene som hadde returnert Ramanujans forespørsel uten kommentar fem år tidligere, støttet også kandidaturet. Prisen fant sted 2. mai. Ramanujan var bare den andre indianeren som mottok denne æren og en av de yngste karene. Samme år, 10. oktober, mottok han også tittelen Fellow of Trinity College Cambridge .

Flere år etter Ramanujans død spurte den ungarske matematikeren Paul Erdős Hardy om hans største bidrag til matematikk. Uten å nøle ringte Hardy til Ramanujans oppdagelse og beskrev den som "den eneste romantiske hendelsen i mitt liv."

Sykdom, retur til India og død

Ramanujan, passfoto fra 1919, laget for sin tur / retur til India. Bildet glattes ut.

Typisk bygate i Chetput forstad til Madras, rundt 1905

Ramanujan hadde helseproblemer gjennom hele livet. I denne forbindelse var ikke oppholdet i England bra for ham, spesielt siden han som brahmin var strengt vegetarianer , noe som gjorde kostholdet hans enda vanskeligere under første verdenskrig . Etter å ha fått bakteriell dysenteri to ganger ble både tuberkulose og vitaminmangel diagnostisert. Ramanujans fatalistiske holdning, som Hardy tilskrev sin indiske opprinnelse, bidro også til at han tok for lite hensyn til sin egen helse.

Året 1917 var preget av skuffelser for Ramanujan. Først ble han ikke valgt som stipendiat i Trinity College, som han hadde håpet (kollegiet var da delt over forholdet om krigsmotstanderen Bertrand Russell ). Så ble han så alvorlig syk at han til tider fryktet for livet sitt. Oppholdet i tuberkulosesanatoriet i Matlock forverret humøret til en dyp depresjon: stedet var avsidesliggende, ledelsesdiktatoriet, pasientene ble isolert fra omverdenen, det var kaldt (som ble antatt å være terapeutisk nyttig på den tiden), og han fikk ikke den vanlige maten. Hans arbeid led av sykdommen, som igjen forverret depresjonen hans. I tillegg fikk han sjelden brev fra kona; som det viste seg senere, ble de fanget opp av moren hans. I februar 1918 forsøkte Ramanujan selvmord ved å kaste seg på skinnene foran et innkommende t-banetog, men en oppmerksom vakt klarte å stoppe toget i tide. Ramanujan fikk skader som etterlot seg dype arr i leggen. Han ble arrestert og ble bare løslatt takket være Hardys inngripen. På slutten av 1917 så Hardy imidlertid tegn til forbedring og skrev i et brev til Francis Dewsbury i Madras i januar 1918 at Ramanujan hadde fått nesten 15 pund og at kroppstemperaturen var stabil.

Ramanujan bestemte seg for å returnere til India etter at krigen var over. Som stipendiat i Royal Society ble han tilbudt et professorat (Fellowship of the University) i Madras, som til £ 250 tilbød ham omtrent samme lønn som stipendiat i Royal Society. Ramanujan ønsket å bli frisk først og til og med donerte penger fra inntekten til Royal Society, til misnøye for familien hans, som måtte stole på hans støtte.

Ramanujan forlot England 27. februar 1919, nådde India 13. mars og ble mottatt av sin mor i Madras. Familiekonflikter brøt ut igjen da Ramanujan insisterte på at kona Janaki, nå 18 år gammel, skulle komme til ham. Hans natur hadde endret seg: i stedet for å være varm og vennlig som før avreise, viste han seg nå for vennene sine deprimerte, kalde og maddre; han var ikke lenger matet som før han dro, men så syk og avmagret ut. Han ble ansett som sendt til et sanatorium, men Ramanujan hadde blitt mistenksom overfor leger og ofte nektet å gi dem råd. På hardys oppfordring ble Madras tuberkulosespesialist og professor PS Chandrasekhar sendt til Ramanujan, som tydelig diagnostiserte tuberkulose.

Om sommeren flyttet familien fra varme Madras til det kjøligere indre av landet, først til Kodumudi , hvor mors familie hadde gode forbindelser, og fra begynnelsen av september til den mindre avsidesliggende Kumbakonam. I begynnelsen av 1920 var Ramanujan tilbake i Chetpet , en forstad til Madras, hvor han igjen opplevde en produktiv fase. 12. januar 1920 skrev han til Hardy om oppdagelsen av mock theta-funksjonene. Inntil fire dager før han døde, til tross for feber og smerte, jobbet han med sine matematiske notatbøker, arkene som kona samlet i en eske.

Ramanujan døde 26. april 1920 i Chetpet i Gometra- huset utenfor Huntington Road. Enken hans bodde i Triplicane , et distrikt i Madras, til hun døde i 1994 , hvor hun senere tjente levebrødet for det meste som selvstendig næringsdrivende (og fikk en liten pensjon fra University of Madras) og reiste en adoptert sønn av en avdød venn (W. Narayanan).

Legen DAB Young undersøkte Ramanujans medisinske journaler og journaler i 1994 og foreslo at han døde ikke av tuberkulose, men av amøben dysenteri, som var voldsomt i Madras på den tiden. Han var også av den oppfatning at Ramanujans bakteriedysenteri ikke hadde avtatt helt, og at patogenene hadde blitt værende i kroppen. På denne måten kunne amoebisk dysenteri utvikle seg raskere senere.

Arbeidet

Ramanujan var hovedsakelig opptatt av tallteori i løpet av de fem årene i England . Han ble kjent for mange sumformler som inneholder konstanter som sirkelnummer, primtall og partisjonsfunksjoner , og han var en mester i å håndtere fortsatte brøker . Blant annet skapte han en veldig god tilnærmelsesformel for å beregne ellipsens omkrets . ${\ displaystyle \ pi,}$

Sirkelnummerberegning

Et av hans mest kjente funn er en ligning for å beregne antall sirkler , som ble publisert i 1914 og basert på studier av elliptiske funksjoner og modulfunksjoner :${\ displaystyle \ pi}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi}} = {\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {9801}} \ cdot \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \, { \ frac {(4n)! \ cdot (1103 + 26390 \, n)} {(n!) ^ {4} \ cdot 396 ^ {4n}}}}$

Metoden konvergerer raskt og leverer til 9 trinn over en nærhetspause med 80-sifret teller er allerede et resultat, de 70 brøkene med sammenfallende: ${\ displaystyle \ pi}$

${\ displaystyle \ pi \ approx {\ frac {1} {{\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {9801}} \ cdot \ sum _ {n = 0} ^ {8} \, {\ frac {(4n)! \ Cdot (1103 + 26390 \, n)} {(n!) ^ {4} \ cdot 396 ^ {4n}}}}} = {\ sqrt {2}} \ cdot {\ frac { 14071471712843535798792494970078253119671801362717159118900747103370578550063104} {6334387787708107824222495376281706107615730472323276284056009760393364218543125}} \ \;$

${\ displaystyle \ pi \ approx 3 {,} 14159 \; 26535 \; 89793 \; 23846 \; 26433 \; 83279 \; 50288 \; 41971 \; 69399 \; 37510 \; 58209 \; 74944 \; 59230 \; 78164 \; {\ color {red} 10729 \ ldots}}$

I 1985 brukte Bill Gosper denne tilnærmingen til å bestemme 17 millioner desimaler. ${\ displaystyle \ pi}$

Partisjonsfunksjon

Den asymptotiske formelen som ble utgitt i 1918 av Hardy og Ramanujan for partisjonsfunksjonen, gir antall ganger et naturlig tall har forfalt :${\ displaystyle p (n)}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle p (n) \ sim {\ frac {1} {4n {\ sqrt {3}}}} \ exp \ left ({\ pi {\ sqrt {\ frac {2n} {3}}}} \ høyre) \ quad {\ text {for}} \ quad n \ rightarrow \ infty}$.

For eksempel resulterer det i en verdi som bare er 1,4% for høy, som er rundt . Hardy og Ramanujan fant en nøyaktig formel for partisjonsfunksjonen, hvis første periode er den asymptotiske verdien ovenfor. Dette imponerte også den engelske kombinatorispesialisten Percy Alexander MacMahon , som hadde beregnet tabeller for partisjonsfunksjonen ved hjelp av en formel fra Euler - verdien , arbeidskrevende tabellert av MacMahon, resulterte direkte fra Ramanujans formel. Arbeidet med partisjonsfunksjonen var også opprinnelsen til sirkelmetoden, som senere ble gjort til en sentral metode for analytisk tallteori av Hardy og Littlewood. ${\ displaystyle n = 1000}$${\ displaystyle 2 {,} 44 \ cdot 10 ^ {31}}$${\ displaystyle p (200)}$

Ytterligere funn

Totalt fant Ramanujan rundt 3900 matematiske resultater i Cambridge, hvorav de fleste var identitetsligninger , hvorav de fleste kunne bevises med tilbakevirkende kraft.

I årene med å jobbe sammen med Hardy ble det laget mange verk på høyt sammensatte tall , mock theta-funksjoner (pseudo theta-funksjoner) - som var forvirrende lenge, men hvis teori fikk et stort løft rundt 2010 ( Sander Zwegers , Kathrin Bringmann , Ken Ono ) - og antagelsen oppkalt etter ham om Ramanujan tau-funksjonen , som ble bevist i 1974 av Pierre Deligne . Sammen beviste de Hardy og Ramanujans teorem . Denne teoremet gir det mest nøyaktige estimatet til dags dato for antall forskjellige hovedfaktorer for et helt tall.

For å gi eksempler på typen Ramanujans resultater, her er noen flere ligninger som Ramanujan fant:

${\ displaystyle {\ sqrt {(n + a) ^ {2} + x \, a + x \, {\ sqrt {(n + a) ^ {2} + (x + n) \, a + (x + n) \, {\ sqrt {(n + a) ^ {2} + (x + 2n) \, a + (x + 2n) \, {\ sqrt {\ dots}}}}}}}} = x \, + \, n \, + \, a}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ displaystyle 1 + {\ frac {e ^ {- 2 \ pi}} {\ displaystyle 1 + {\ frac {e ^ {- 4 \ pi}} {\ displaystyle 1+ {\ frac {e ^ {- 6 \ pi}} {\ ddots}}}}}}}} = {\ Biggl (} {\ sqrt {\ frac {5 + {\ sqrt {5}}} {2} }} - {\ frac {{\ sqrt {5}} + 1} {2}} {\ Biggr)} \ cdot e ^ {2 \ pi / 5} = {\ Bigl (} {\ sqrt {2+ \ Phi}} - \ Phi {\ Bigr)} \ cdot e ^ {2 \ pi / 5}}$... med det gyldne forholdet ${\ displaystyle \ Phi}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ displaystyle 1 + {\ frac {e ^ {- 2 \ pi {\ sqrt {5}}}} {\ displaystyle 1 + {\ frac {e ^ {- 4 \ pi {\ sqrt {5}}}} {\ displaystyle 1 + {\ frac {e ^ {- 6 \ pi {\ sqrt {5}}}} {\ ddots}}}}}}}}} = {\ Biggl (} {\ frac {\ sqrt {5}} {1 + {\ sqrt [{5}] {5 ^ {\ frac {3} {4}} ({\ frac {{\ sqrt {5}} - 1 } {2}}) ^ {\ frac {5} {2}} - 1}}}} - {\ frac {{\ sqrt {5}} + 1} {2}} {\ Biggr)} \ cdot e ^ {2 \ pi / {\ sqrt {5}}}}$

Konsepter oppkalt etter Ramanujan

• Landau-Ramanujan konstant (også oppkalt etter Edmund Landau )
• Ramanujan Soldner konstant (videreutviklet teori om den tyske matematikeren Johann Georg von Soldner )
• Ramanujan theta-funksjon
• Rogers-Ramanujan-identiteter (utviklet i samarbeid med den britiske matematikeren Leonard James Rogers )
• Ramanujan primtall
• Ramanujan sum
• Ramanujan-formodning (om Ramanujan tau-funksjonen)
• det åpne problemet med Brocard og Ramanujan
• Ramanujan-graf
• Ramanujan-Nagell ligning
• Ramanujans g-funksjon og G-funksjon

Magisk torg

Det magiske torget i Ramanujan. Felter med samme farge legger opp til 139, den første linjen - uthevet i farger nederst til høyre - viser fødselsdatoen.

Et helt kapittel av den første notisboken er viet magiske firkanter . Han laget torget til venstre, og den første linjen viser fødselsdatoen.

Ramanujans metoder og pedagogiske hull

Ikke alle resultatene fra Ramanujan var nøyaktige. I en av de første bokstavene, for eksempel, ga han en formel for antall primtall under et fast tall i form av en uendelig serie, noe som faktisk gir et nøyaktig samsvar for verdier opp til rundt 1000 (og også gir en relativt god tilnærming for mye høyere verdier), men generelt, fant Littlewood, er ikke eksakt. Formelen var lik Bernhard Riemanns, med Ramanujans formel som ikke tok hensyn til de komplekse nullene til Riemann zeta-funksjonene . Selv om Ramanujan måtte mislykkes i analytisk tallteori (og spesielt primtallfordeling) på grunn av manglende kunnskap og det viktige behovet for strenge bevis - der ofte tilsynelatende sannsynlige hypoteser senere ble funnet å være falske - (Littlewood), vurderte Littlewood hans bidrag for å være en av hans mest ekstraordinære prestasjoner.${\ displaystyle x}$

Hardy ble ofte spurt om Ramanujan hadde en spesiell hemmelighet eller "unormale" metoder som skilte ham fra andre matematikere. Hardy svarte at selv om han ikke kunne svare på det med absolutt sikkerhet, trodde han ikke det.

En mangel ved Ramanujan var at han ikke visste noe om teorien om funksjonene til komplekse variabler (han fikk til og med sin kunnskap om elliptiske funksjoner fra den idiosynkratiske presentasjonen av læreboka av Alfred George Greenhill ), som Hardy uttalte i sin bok om Ramanujan. Senere lærte han noe funksjonsteori, men til Hardys forbauselse brukte han ikke Cauchys integrerte teorem eller restkalkulus , selv om de som formalist burde ha passet ham. Hardy karakteriserte Ramanujan som en mester i å håndtere algebraiske formler og uendelige serier på en måte som Hardy selv ikke hadde sett i noen matematiker han kjente, og som bare gjorde ham sammenlignbar med Euler eller Jacobi. Han arbeidet også mer enn andre matematikere etter Hardy ved å indusere numeriske eksempler, for eksempel på kongruensene til partisjonsfunksjonen som han oppdaget. Ifølge Hardy kombinerte han en ekstraordinær hukommelse, tålmodighet og utholdenhet og ekstraordinære regneferdigheter med en evne til å generalisere og raskt endre hypotesene han hadde laget, samt en følelse av form som overrasket og gjorde ham unik i sitt felt. Han så det mindre som en tragedie at Ramanujan døde tidlig (ifølge Hardy var matematikere allikevel relativt gamle i en alder av 30 år) enn at han ikke ble forfremmet i India i sine tidlige år og dermed fikk et forvrengt bilde av matematikken. I følge Hardy, til tross for "dyp og ukuelig originalitet", ville han ha blitt en stor matematiker hadde han vært litt "temmet" i sin ungdom, men da "mindre en Ramanujan enn en europeisk professor, og tapet kanskje hadde vært større enn gevinst ”.

Anekdoter

En historie som uttrykker Ramanujans matematiske prestasjoner kommer fra Hardy selv, som fortalte den etter Ramanujans død. Hardy hadde tatt en taxi med nummeret 1729 til Ramanujan, tenkt litt på nummeret, men fant ikke noe spesielt, og i stedet for å hilse på Ramanujan, sa han skuffet over hvilket uinteressant, meningsløst nummer det var. Ramanujan, som var syk i sengen, motsagt på en gang: i 1729 var enda interessant enn den minste naturlige tallet som skal skrives på to forskjellige måter som en sum av to terninger: . Hardy spurte tilbake om han også visste svaret på det tilsvarende problemet for fjerde makter. Etter et øyeblikks tanke sa Ramanujan at han ikke kunne tenke på et eksempel, men det første tallet må være veldig stort.${\ displaystyle 1729 = 1 ^ {3} + 12 ^ {3} = 9 ^ {3} + 10 ^ {3}}$

Nummeret 1729 er nå også kjent som Hardy Ramanujan-nummeret og er det andre taxibilenummeret . Den minste løsningen på den fjerde makten er . ${\ displaystyle 635 \, 318 \, 657 = 133 ^ {4} + 134 ^ {4} = 59 ^ {4} + 158 ^ {4}}$

JE Littlewood sa en gang at ethvert positivt heltall er Ramanujans personlige venn.

En annen historie har blitt fortalt av Prasanta Chandra Mahalanobis , Ramanujans venn fra Cambridge. På Ramanujans rom kom han over en hjernetrim fra Strand Magazine fra desember 1914. Det var en serie hus med påfølgende husnummer 1, 2, 3…. Vi lette etter antall hus der summen av alle husnummer til høyre eller venstre er den samme hvis antall hus er større enn 50 og mindre enn 500. Etter litt tanke fant Mahalanobis husnummer 204 av totalt 288 hus som den eneste løsningen i det gitte intervallet:

${\ displaystyle 1 + 2 + 3 + \ cdots + 203 = 20 \, 706 = 205 + 206 + \ cdots +288}$

Da han leste oppgaven for Ramanujan, fant han ikke bare denne spesielle løsningen like raskt, men formulerte også en generell løsning for gater i alle lengder i form av en kjedefraksjon. De mulige verdiene til husnummeret er røttene til de firkantede trekantnumrene , indeksen til det trekantede tallet er antall hus. Under 204 er det løsningene 6 (for 8 hus) og 35 (for 49 hus).

Andre interesser og synspunkter på Ramanujan

Ramanujan manuskriptside om kvadrering av sirkelen (publisert 1913)

I følge Hardys beretning var Ramanujan bare marginalt interessert i litteratur og kunst, men klarte å skille godt fra dårlig litteratur. Hans kunnskaper i engelsk var så dårlige at han ikke kunne ha bestått en eksamen med den; Han kunne ikke lese matematiske avhandlinger på tysk eller fransk i det hele tatt. Han var veldig interessert i filosofi, politisk var han en radikal pasifist . Selv om han fulgte nøye med på overholdelsen av sine religiøse konvensjoner, var han ikke bare overbevist om sin religion, men av den oppfatning at alle religioner var mer eller mindre like. Han var interessert i det uvanlige, uventede og rare og eide en liten samling bøker av squarers og andre sveiver (Hardy). Ramanujan selv ga to geometriske konstruksjoner for den omtrentlige kvadrering av sirkelen .

Notatbøker

Ramanujans personlige notater, "notatbøkene", gikk delvis tapt i noen år. Enken hans ga de fire notatbøkene og flere andre manuskripter til University of Madras etter hans død . Tre år senere sendte den lokale registratoren Francis Drewsbury dem til Godfrey Harold Hardy ved University of Cambridge. Originalene til de første og andre notatbøkene ble senere returnert til University of Madras.

De fire bøkene og manuskriptene inneholdt totalt 3000 til 4000 matematiske formler tegnet av Ramanujan (759 resultater i den første notisboken). Imidlertid ble ingen bevis knyttet til noen. Sammen med Bruce Berndt , en matematiker fra University of Illinois i Urbana-Champaign , beviste George E. Andrews en stor del av formlene (ved hjelp av dokumenter fra Bertram Martin Wilson og George Neville Watson og med deltakelse fra andre matematikere).

Notatbøkene var opprinnelig planlagt å bli utgitt med Collected Papers i 1927 , men dette ble ikke av økonomiske årsaker. I 1929 planla Wilson og Watson å gi ut notatbøkene, men dette stoppet med Wilsons død i 1935 (i 1957 ga Tata Institute for Fundamental Research i Bombay ut en fotostatisk kopi i to bind, med den første, andre og tredje notisbok) . På slutten av 1930-tallet mistet Watson interessen for publikasjonen, men hans notater og Wilson ble senere brukt av Berndt og Andrews i sin utgave, og Watson publiserte på materiale fra notatbøkene. Notatbøkene ble senere redigert av Andrews og Berndt.

Den andre notisboken er en utvidelse og prosessering av den første notisboken og ble opprettet før Ramanujans opphold i England. Begge har over 300 sider og er i stor grad ordnet tematisk (i den andre notisboken, 21 kapitler på 256 sider og rundt 100 sider med uorganisert materiale). Han sendte Hardy rundt 120 resultater i et brev (med en side mangler fra første bokstav). Den tredje notisboken består av bare 33 sider.

Den fjerde notisboken ble opprettet etter Ramanujans retur til India og inneholder blant annet materiale om mock theta-funksjonene, Rogers-Ramanujan fortsatte brøker og q-serier. Den gikk tapt i flere tiår og tjente ham kallenavnet "Lost Notebook" (Lost Notebook) . Etter Watsons død i 1965 undersøkte Robert Alexander Rankin eiendommen sin og sendte Ramanujan-skriftene som fremdeles var der til Wren Library of Trinity College 26. desember 1968. Der ble den tapte notisboken funnet av Andrews våren 1976, i en eske med gjenstander som tidligere tilhørte Watson. Berndt sa:

22. desember 1987 (Ramanujans 100-årsdag) ble Ramanujans tapte notatbok publisert i Narosa Publishing House i nettverk med Springer . Den daværende indiske statsministeren Rajiv Gandhi ga de to første eksemplarene av boka til S. Janaki Ammal Ramanujan, matematikerens enke, og til George E. Andrews. For noen formler har det imidlertid ikke blitt funnet noen bevis hittil.

Utmerkelser

Priser i løpet av livet

• 1904: K. Ranganatha Rao-pris for matematikk
• 6. desember 1917: Medlem av London Mathematical Society
• 18. februar 1918: Stipendiat fra Cambridge Philosophical Society
• 2. mai 1918: Fellow of the Royal Society
• 10. oktober 1918: Stipendiat fra Trinity College Cambridge

Postume utmerkelser

• I 1962 utstedte den indiske regjeringen et frimerke med Ramanujans likhet for å feire 75-årsdagen hans. I dag pryder matematikeren et antall indiske frimerker.
• I den indiske delstaten Tamil Nadu , Ramanujans hjemstat, feires State IT Day hvert år den 22. desember, hans bursdag . Dette er for å minne om røttene til denne forskeren og hans opprinnelse fra Tamil Nadu. Huset på Saarangapani Street i Kumbakonam, hvor Ramanujan og hans familie tilbrakte mesteparten av barndommen, huser nå et omfattende museum om matematikeren.
• ICTP Ramanujan-prisen og SASTRA Ramanujan-prisen har blitt tildelt til minne om Ramanujan siden 2005 .
• I 2019 publiserte et team av forskere ledet av Gal Raayoni fra Technion en teknisk artikkel om programvare de hadde utviklet som ifølge deres forfattere skulle imitere måten Ramanujan fungerer på. Dataprogrammet, kalt “Ramanujan-maskinen”, sies å ha funnet tidligere ukjente nestede formler ved bruk av prøve-og-feil-metoden, som gir verdien av viktige konstanter som pi, Eulers nummer e eller verdiene til Riemannian. zeta-funksjon. Frank Calegari kritiserte forskergruppens påstander som intellektuell bedrag.
• Asteroiden (4130) Ramanujan , oppdaget 17. februar 1988, ble oppkalt etter ham i 1989.

Henvisninger til Ramanujan i kultur

• I filmen Good Will Hunting siterer matteprofessor Gerald Lambeau Ramanujan - noe overdramatisert - som en sammenligning for begavelsen til den unge Will Hunting.
• Den amerikanske krimserien Numbers overførte Ramanujans navn til en indisk matematiker som spesialiserte seg på kombinatorikk .
• Dramaet First Class Man, basert på romanen med samme navn av David Freeman, handler om Ramanujan og hans samarbeidsforhold med Hardy.
• 21. april 1998 ble operaen Ramanujan av den tysk-indiske komponisten Sandeep Bhagwati om matematikerens liv premiere i Prinzregententheater i München .
• Den biografiske filmen Ramanujan ble utgitt i 2014 .
• 2016 spilte filmen Poetry of the infinite (engelsk: The Man Who Knew Infinity ), regissert av Matthew Brown med den engelske skuespilleren Dev Patel i rollen som Srinivasa Ramanujan og Jeremy Irons som G. H. Hardy .

Skrifttyper

• Med GH Hardy : Une formule asymptotique pour le nombre des partitions de n . Comptes Rendus 164, 1917, s. 35-38.
• GH Hardy, P. Veṅkatesvara Seshu Aiyar, Bertram Martin Wilson (red.): Samlede papirer. Cambridge University Press, 1927; Opptrykk Chelsea Publishing Co. 1962; AMS Chelsea Publishing (bind 159) 2000, ISBN 0-8218-2076-1 (med moderne kommentarer av Bruce C. Berndt).
• George E. Andrews, Bruce C. Berndt (red.): Ramanujans tapte notatbok. Springer-Verlag, New York London 2005, ISBN 978-0-387-25529-3 .
• Bruce C. Berndt (red.): Ramanujans notatbøker. (Fem deler), Springer-Verlag, New York.
  • Del I, 1985, ISBN 0-387-96110-0 .
  • Del II, 1999, ISBN 0-387-96794-X .
  • Del III, 2004, ISBN 0-387-97503-9 .
  • Del IV, 1993, ISBN 0-387-94109-6 .
  • Del V, 2005, ISBN 0-387-94941-0 .
• George E. Andrews, Robert Alexander Rankin (red.): Ramanujan - Letters and Commentary. American Mathematical Society, 1995, ISBN 978-0-8218-0470-4 .
• Ramanujan: Den tapte notisboken og andre upubliserte papirer. Narosa Publ. House / Springer, New Delhi 1988.

litteratur

• Godfrey Harold Hardy: Nekrolog, S. Ramanujan. Nature, bind 105, 1920, s. 494-495.
• Godfrey Harold Hardy: Ramanujan - Tolv forelesninger om emnene foreslått av hans liv og arbeid. Chelsea Publishing Co, 1940, 1978 ISBN 0-8284-0136-5 .
• Godfrey Harold Hardy: Srinivasan Ramanujan (1887-1920) , Proc. London Math. Soc., Bind 19, 1920, s. XL-LVIII, omtrykt i Hardy et al. Ramanujan. Collected Papers , Cambridge UP, 1927, s. XXI - XXXVI (med mindre endringer også i Proc. Roy. Soc., 1921)
• Robert Kanigel : Hvem kjente det uendelige. Vieweg-Verlag, 2. utgave 1995, ISBN 3-528-16509-X , tysk oversettelse av Albrecht Beutelspacher av The Man Who Knew Infinity: a Life of the Genius Ramanujan. Charles Scribner's Sons, New York 1991. ISBN 0-684-19259-4 .
• Eric Harold Neville : Srinivasa Ramanujan. Nature, bind 149, 1942, s. 292-295
• SR Ranganathan : Ramanujan: mannen og matematikeren , Bombay: Asia Publishing House 1967
• Suresh Ram: Srinivasa Ramanujan , New Delhi, National Book Trust, 1972, 1979.
• K. Srinivasa Rao: Srinivasa Ramanujan - Et matematisk geni. East West Books, Madras 1998.
• George E. Andrews (red.): Ramanujan revidited. (Urbana-Champaign, Ill., 1987), Academic Press 1988
• George E. Andrews, Robert Alexander Rankin : Ramanujan: Essays and Surveys. American Mathematical Society, 2001, ISBN 978-0-8218-2624-9 .
• Bruce C. Berndt: En oversikt over Ramanujans notatbøker. I: Charlemagne and His Heritage: 1200 Years of Civilization and Science in Europe. (Red. PL Butzer, W. Oberschelp, H. Th. Jongen), Turnhout, 1998. s. 119-146.
• Bruce C. Berndt, S. Bhargava: Ramanujan for lowbrows. I: American Mathematical Monthly. Volum 100, 1993, s. 644 ( mathdl.maa.org ).
• Robert Alexander Rankin : Ramanujans manuskripter og notatbøker , Bulletin London Math. Soc., Bind 14, 1982, s. 81-97, del 2, bind 21, 1989, s. 351-365
• Lokenath Debnath: Srinivasa Ramanujan (1887-1920) og teorien om partisjoner av tall og statistisk mekanikk. En hundreårs hyllest , International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, bind 10, 1987, utgave 4, s. 625-640, European Digital Mathematics Library
• Don Zagier : Ramanujan til Hardy. Fra første til siste bokstav. I: Kommunikasjon DMV. Volum 18, 2010, s. 21-28 ( people.mpim-bonn.mpg.de PDF).

weblenker

• John J. O'Connor, Edmund F. Robertson :  Srinivasa Aiyangar Ramanujan. I: MacTutor History of Mathematics archive .
• Nettsted på Srinivasa Ramanujan - av prof. K. Srinivasa Rao, Chennai, med mange skanninger av artiklene og notatbøkene, juni 2002 (engelsk)
• Alladi Krishnaswami (red.): Srinivasa Ramanujan: Going Strong at 125, Part I. Notices AMS, December 2012 and Part 2. Notices AMS, January 2013
• K. Srinivasa Rao: Srinivasa Ramanujan
• Et geni med intuisjon: Ramanujan. (PDF) Kort biografi, Quarks & Co , 5. april 2005
• Holger Dambeck: Matematikere bøyer seg for Ramanujan. I: Spiegel online . 22. desember 2012 ( spiegel.de ).
• Martin Koch: Kanskje det største mattegeniet døde for tidlig. Visste Ramanujan det uendelige? I: Berliner Zeitung . 29. april 1995 ( berliner-zeitung.de ).

Individuelle referanser og kommentarer

Denne versjonen ble lagt til i listen over artikler som er verdt å lese 11. april 2020 .