Avrunding

Den avrunding eller runder er utskifting av et tall med en proxy , de ønskede egenskaper, som mangler det opprinnelige antall.

En runder til

• Gjør tall med desimaler lettere å lese;
• å overholde det begrensede antallet representable sifre (også med flytende tall );
• for å indikere verdien av irrasjonelle tall i det minste omtrent, for eksempel sirkelnummeret ;${\ displaystyle \ pi}$
• å ta hensyn til nøyaktigheten av et resultat og derved unngå fiktiv nøyaktighet ; for dette er ikke bare desimaler avrundet, men også store heltall uten å forkorte representasjonen. For eksempel avrunder Federal Employment Agency det beregnede antall arbeidsledige til hele 100. Her forblir antall viste sifre uendret, men de to siste sifrene er angitt som ubetydelige ;
• for å tilpasse et gitt nummer til enheten som kan representeres eller brukes . Eksempler er den minste mynten for kontanter, den minste aritmetiske valutaenheten for bokpenger, hel gram for kjøkkenvekt, og hele mandater for proporsjonal representasjon for setetildelingsprosedyrer .

Hvis et positivt tall økes, snakker man om "avrunding"; hvis den blir mindre, ved å “avrunde”. Når det gjelder negative tall, er disse ordene tvetydige. Hvis bare desimaler blir utelatt, snakker man om "avskåret".

"Tilnærmet lik" ( ≈  ) -tegnet  kan indikere at følgende nummer er avrundet. Den ble introdusert av Alfred George Greenhill i 1892 .

Avrundingsregler

Kommersiell avrunding

De kommersielle runder (ikke negative tall) er som følger:

• Hvis tallet på første desimal er 0, 1, 2, 3 eller 4, blir det avrundet nedover.
• Hvis tallet på første desimal er 5, 6, 7, 8 eller 9, blir det avrundet.

Denne avrundingsregelen er beskrevet av DIN 1333- standarden . Avrunding er ofte allerede undervist i barneskolen.

Eksempler (avrunding til to desimaler):

• 13,3749 ... € ≈ 13,37 €
• 13.3750 ... € ≈ 13.38 €

Negative tall er i henhold til størrelsen avrundet, ved en 5 for å si vekk fra null ( engl : Away from Zero ):

• −13.3749 ... € ≈ −13.37 €
• −13.3750 ... € ≈ −13.38 €

De kommersielle rundene er delvis i det juridiske miljøet som sivile runder kalt og z. B. i § 14 i tjenesteleverandørloven forklart som følger:

Symmetrisk avrunding

Kommersiell og symmetrisk avrunding skiller seg fra hverandre bare når et tall er avrundet nøyaktig i midten mellom to tall med det valgte antall desimaltegn.

Den symmetriske (eller geodetiske, matematiske, uforvrengede, vitenskapelige ) avrundingen er definert som følger (formuleringstilpasset):

1. Hvis tallet på første desimal er 0, 1, 2, 3 eller 4, blir det avrundet.
2. Hvis tallet er et 5 (etterfulgt av ytterligere sifre som ikke alle er null), 6, 7, 8 eller 9 i første desimal, avrundes det opp.
3. Hvis tallet på første desimal bare er 5 (eller 5 fulgt av bare nuller), avrundes det slik at det siste tallet som skal beholdes er jevnt ("partallregel").

Denne typen avrunding brukes i numerisk matematikk , ingeniørfag og teknologi. Den er gitt i IEEE 754- standarden for beregning med binære flytende tall i datamaskiner. I engelskspråklig litteratur kalles det Round to Even eller Banker's Rounding .

Eksempler (avrunding til en desimal):

• 2.2499 ≈ 2.2 (i henhold til regel 1)
• 2.2501 ≈ 2.3 (i henhold til regel 2)
• 2.2500 ≈ 2.2 (avrundet til et jevnt tall i henhold til regel 3)
• 2.3500 ≈ 2.4 (avrundet til et jevnt tall i henhold til regel 3)

Den kommersielle avrundingen beskrevet i forrige avsnitt skaper små systematiske feil, siden avrunding opp med 0,5 skjer, men avrunding ned med 0,5 forekommer aldri; dette kan skje statistikk litt. Den matematiske avrundingen som er beskrevet her, runder alltid opp eller ned fra den eksakte midten mellom to sifre til neste jevne siffer. Som et resultat blir gjennomsnittet avrundet opp og ned omtrent like ofte, i det minste hvis de opprinnelige tallene er stokastiske . (Moteksempel: Hvis små tall er vanligere enn store, kan de systematisk avrundes nedover snarere enn oppover, se Benfords lov .)

Sumbevarende avrunding

Med totalbevarende avrunding blir summandene avrundet på en slik måte at summen er lik den avrundede summen. Det kan være nødvendig å avrunde noen sommander fra nærmeste avrundede verdi til motsatt verdi.

Viktige applikasjoner er tildeling av seter i proporsjonal representasjon og fordeling av hele merverdiavgiften på en faktura til de enkelte varene.

Saken om at alle summands er positive er grundig undersøkt, se setetildelingsprosedyre .

Hare-Niemeyer-metoden der kan generaliseres for summands med begge tegn : Du avrunder alle tall til nærmeste rundetall, og så lenge summen er for stor (eller for liten), velger du en av de avrundede opp (eller avrundede ) nummererer den med den største avrundingen opp (eller den største mengden avrunding ned) og endrer avrundingen i motsatt retning. Dette betyr at summen av endringsbeløpene er minimal .

Håndterer avrundede tall

Avrundingstall som allerede er avrundet

Hvis det opprinnelige tallet allerede er et resultat av avrunding, må det ubegrensede tallet brukes hvis det nye avrundingssifret er 5 (og alle sifrene etter det nullet) (f.eks. Med matematiske konstanter):

• Urundet nummer kjent: 13.374999747, avrundet startnummer: 13.3750

→ Avrunding av det avrundede tallet til to desimaler resulterer i: 13.37

• Urundet nummer ukjent, avrundet startnummer: 13.3750

→ Avrunding av det tidligere avrundede tallet til to desimaler resulterer i: 13.38.

Identifisering av avrundingsresultater

I vitenskapelige artikler og logaritmetabeller er det noen ganger indikert om det siste sifferet ble oppnådd ved å avrunde opp eller ned. Et tall som ble oppnådd ved å avrunde opp er angitt med en linje under (eller over) tallet, et tall som ikke er endret av avrundingen (tallet er avrundet) er markert med et punkt over tallet.

Eksempler:

• ${\ displaystyle 3 {,} 4134928 ...}$blir til ; dette tallet er de nye rundene . Når du avrunder igjen (i eksemplet til tre steder etter desimaltegnet), må det avrundes nedover.${\ displaystyle 3 {,} 413 {\ understreket {5}}}$${\ displaystyle 3 {,} 413}$
• ${\ displaystyle 2 {,} 6245241 ...}$blir til ; dette tallet blir tydeligere neste gang du runder det til . Når du avrunder igjen (i eksemplet til tre steder etter desimaltegnet), må du runde opp. For videre avrunding (her til to steder) vil den bli avrundet ned, indikert med 5 .${\ displaystyle 2 {,} 624 {\ dot {5}}}$${\ displaystyle 2 {,} 625}$${\ displaystyle 2 {,} 62 {\ understreket {5}}}$

Hvis ingen andre sifre er kjent, antas startnummeret å være nøyaktig.

Beregn med avrundede tall

Hvis avrundede tall er inkludert i en beregning, må det endelige resultatet avrundes til samme antall signifikante sifre. Hvis z. For eksempel, hvis en styrke på 12,2 Newton måles, må alle endelige resultater som avhenger av denne kraften avrundes slik at maksimalt tre signifikante sifre gjenstår. På denne måten later ikke leseren til å være mer presis enn det som faktisk er tilgjengelig.

Formelle avrundingsregler

Spesielt kommersiell avrunding er forklart på en slik måte at barn også forstår det. For dette har du bare prisene på varer og lønn som er kjent i punktnotasjonen. Selv i kapittelet "Elementær matematikk" i matematikklommeboken av Bronstein / Semendjajew formuleres noe mer kompliserte avrundingsregler uten hjelp av dypere matematiske uttrykk, men ledsaget av matematiske forklaringer. Denne delen diskuterer noen av disse og noen andre matematiske betraktninger.

Endelige og uendelige sekvenser av sifre

Bronstein / Semendjajew diskutere avrunding opp eller ned ved hjelp av formelle tall - tegnstrenger i en (desimal) sted verdisystem , må ikke forveksles med den delen av talen . Positive desimalfraksjoner (i streng forstand, ) kan brukes som ${\ displaystyle {\ frac {a} {10 ^ {n}}}}$${\ displaystyle a, n \ in \ mathbb {N}}$

${\ displaystyle z_ {v} z_ {v-1} \ ldots z_ {0}, z _ {- 1} z _ {- 2} \ ldots z _ {- n}}$

skrives (eller omvendt). Det er steder før kommaet (generell skilletegn ) og steder etter. er ute av numeriske lager { , , , , , , , , , }. ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle z_ {v}, \ ldots, z _ {- n}}$0123456789

Andre positive reelle tall kan desimale brøker (som omtrentlige) med vilkårlig presisjon tilnærmet å være. Se illustrasjoner av ulike betalingsmetoder og desimalutvidelse . Koeffisientene til utvidelsen av desimalbrøk

${\ displaystyle \ sum _ {i = v} ^ {\ infty} a_ {i} 10 ^ {i}}$

Et slikt tall resulterer da i en uendelig lang sekvens av sifre (avbrutt med komma eller skilletegn) . I hvert tilfelle nummeret er den sifret verdien av - har sifret verdi , har sifferet verdien , etc. Med ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle z_ {v} z_ {v-1} \ ldots z_ {0}, z _ {- 1} \ ldots}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$${\ displaystyle z_ {i}}$0${\ displaystyle 0}$1${\ displaystyle 1}$

${\ displaystyle A (j): = \ sum _ {i = v} ^ {- j} a_ {i} 10 ^ {i} \ qquad (j \ geq -v)}$

sekvensen av de omtrentlige verdiene øker monotont og er begrenset av oppover . Enda mer: avslutningsfeilen har en tendens mot 0, og konvergerer dermed mot . er ${\ displaystyle A (j)}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle xA (j) \ leq 10 ^ {- j}}$ ${\ displaystyle A (j)}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle Z (j): = z_ {v} \ ldots z_ {0}, z _ {- 1} \ ldots z _ {- j}}$

hver den representerende tegnstrengen, så for karakterstrengen er et prefiks av karakterstrengen , av den uendelig lange, som representerer karakterstrengen - tilfeldig  - det er noe lignende, Bronstein / Semendjajew kaller det uformelt en " begynnelsesdel " av sistnevnte. Det samme som for kan sies om (komma og desimaler mangler). ${\ displaystyle A (j)}$${\ displaystyle 1 \ leq k \ leq l}$${\ displaystyle Z (k)}$${\ displaystyle Z (l)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle Z (\ infty)}$${\ displaystyle Z (k)}$${\ displaystyle Z (0): = z_ {v} \ ldots z_ {0}}$

Uttalelsene om og gjelder også hvis kan representeres av en endelig tegnstreng med desimaler . I dette tilfellet er for koeffisientene og sifrene . Denne tilnærmingen er også nyttig for å formulere avrundingsregler. ${\ displaystyle A (j)}$${\ displaystyle Z (j)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle z _ {- 1} \ ldots z _ {- n}}$${\ displaystyle i> n}$${\ displaystyle a_ {i} = 0}$${\ displaystyle z_ {i}}$ 0

For negative tall gjelder det samme med et foregående minustegn osv. (Sekvensen av omtrentlige verdier faller ...).

Med forskjellige sett med sifre og forskjellige kriterier for representasjon ved endelige tegnstrenger, gjelder ovenstående også verdisystemer til andre baser i stedet for 10. Base 10 er vanlig hvis du ikke (profesjonelt) håndterer implementeringen av avrunding i datamaskin , hvor krefter på 2 fungerer som baser.

Den kjære prikknotasjonen er formelt definert som rekursiv som følger ( står for sammenkobling av tegnstrenger, for den tomme tegnstrengen ): ${\ displaystyle z _ {- 1} ... z _ {- j}}$${\ displaystyle \ circ}$${\ displaystyle \ varepsilon}$

${\ displaystyle z _ {- 1} \ ldots z _ {- 0} = \ varepsilon; \ qquad z _ {- 1} \ ldots z _ {- (j + 1)} = z _ {- 1} \ ldots z _ {- j} \ circ (z _ {- (j + 1)}) \ quad (j \ in \ mathbb {N} _ {0}).}$

"Cut off" / "Cancel"

Avkorting eller abort / abort etter -talls desimaler av et tall der desimaler er kjent, betyr at det “numeriske ordet” erstattes av “tilnærming”, i notasjonen brukt ovenfor med . Så du bruker et prefiks eller en "begynnelsesdel" av en mer presis tegnstreng. Saken handler praktisk talt om når det ene tallet etter det andre ikke vises med et endelig antall sifre, bestemmer det første tallet desimaler og ikke lenger - i dette tilfellet er imidlertid det representerte tallet tilnærmet heller . Imidlertid er det nødvendig med kunnskap om (i det minste) for matematisk avrunding til tiende desimal . ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle n \ geq b}$${\ displaystyle z_ {v} \ ldots z_ {0}, z _ {- 1} \ ldots z _ {- n} \ ldots}$${\ displaystyle z_ {v} \ ldots z_ {0}, z_ {v + 1} \ ldots z _ {- b}}$${\ displaystyle Z (n)}$${\ displaystyle Z (b)}$${\ displaystyle b = n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle Z (b)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle z _ {- b-1}}$

Avbryte et tall med desimaler - z. B. beregnet fra målte verdier eller lest fra måleenheten - desimaler kan være nyttige når du beregner med avrundede tall , eller hvis du vet at enheten viser desimaler, men bare kan måle dem pålitelig. ${\ displaystyle n> b}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle b}$

Avrunde

Den Gaussian braketten  : også kjent som Gauss, heltall eller avrunding funksjon , kart hver reelle tallet til den største heltall som ikke er større enn det reelle tallet. ${\ displaystyle \ lfloor ... \ rfloor}$

Konklusjoner:

• Den Gaussiske funksjonen endrer ikke tegnet , men kan kartlegge et positivt tall til null.
• For positive tall i siffernotasjon er bruken av den Gaussiske funksjonen identisk med å avkutte desimalene (inkludert komma).
• For hvert negativt ikke-heltall er størrelsen på funksjonsverdien større enn størrelsen på inngangstallet.

For å runde av en positiv ikke-heltall nummer med tall slik at bare den -te desimal beholdes (det er avrundet ned til -te plass etter komma), du bare skjære av andre desimaler steder . I desimalsystemet avrundet verdien til tiende desimal ved hjelp av de gaussiske parentesene${\ displaystyle x}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle {\ frac {\ lfloor 10 ^ {b} \ cdot x \ rfloor} {10 ^ {b}}} = \ lfloor 10 ^ {b} \ cdot x \ rfloor \ cdot 10 ^ {- b}}$.

Rund opp

Motstykket til den Gaussiske brakettfunksjonen er avrundingsfunksjonen (også kalt den øvre Gaussiske braketten ), den av et reelt tall er hele tallet ${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle \ lceil x \ rceil: = \ min \ {y \ in \ mathbb {Z} \ mid y \ geq x \}}$

tildeler. Verdien av et positivt reelt tall avrundet opp til tiende desimal er . ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ lceil 10 ^ {b} \ cdot x \ rceil \ cdot 10 ^ {- b}}$

Avrunding i datamaskinen

Siden flytende tall bare opptar et bestemt, endelig minneområde i datamaskinen, er nøyaktigheten begrenset av systemet. Etter matematiske operasjoner (for eksempel multiplikasjon) produseres vanligvis tall som krever høyere grad av nøyaktighet. For å fremdeles kunne vise resultatet, må det avrundes på en eller annen måte slik at tallet passer inn i det tiltenkte tallformatet (f.eks. IEEE 754 ).

Det enkleste avrundingsskjemaet er skjæring (engl. Avkorting eller hakking ): Et antall av et bestemt punkt til venstre for å stå, droppet resten. Dette avrunder det til nærmeste mulige nummer. For eksempel, hvis du avrunder til null desimaler, a . Denne metoden er veldig rask, men den lider av en relativt stor avrundingsfeil (i eksemplet er den det ). Klipping er imidlertid en uunnværlig metode i digital signalbehandling . Det er den eneste metoden som pålitelig kan forhindre en ustabil grensesyklus på grunn av avrundingsfeil i digitale filtre . ${\ displaystyle 10 {,} 11_ {2} = 2 {,} 75_ {10}}$${\ displaystyle 10_ {2} = 2_ {10}}$${\ displaystyle 0 {,} 75_ {10}}$

Kommersiell avrunding brukes også som en ytterligere avrundingsordning ( rund til nærmeste ). Du legger til antallet som skal avrundes før avrunding og deretter kuttes av. I eksemplet vil dette bety at den blir kuttet av . Feilen her er bare . Imidlertid er denne avrundingen positivt forvrengt. ${\ displaystyle 0 {,} 1_ {2} = 0 {,} 5_ {10}}$${\ displaystyle 2 {,} 75_ {10} +0 {,} 5_ {10} = 3 {,} 25_ {10} = 11 {,} 01_ {2}}$${\ displaystyle 11_ {2} = 3_ {10}}$${\ displaystyle 0 {,} 01_ {2} = 0 {,} 25_ {10}}$

Derfor vurderer man matematisk avrunding ( engelsk rund-til-nærmest-jevn ), som avrunder til neste partall for tall som ender på. Denne avrundingsprosedyren er beskrevet i IEEE 754-standarden. Alternativt også avrundet til nærmeste oddetall ( engelsk rund-til-nærmest-odd ). ${\ displaystyle \ ldots {,} \ ldots 5_ {10} = \ ldots {,} \ ldots 1_ {2}}$

Selv om matematisk avrunding fungerer godt numerisk, krever det fortsatt fullstendig tillegg, i verste fall vandrer bærebiten gjennom alle sifrene i tallet. Den har derfor relativt dårlig kjøretidsytelse. Et ferdig bord som inneholder de avrundede resultatene, som bare trenger å kalles opp, er en mulig vei rundt dette problemet.

weblenker

Wiktionary: runder  - forklaringer av betydninger, ordets opprinnelse, synonymer, oversettelser

Wiktionary: avrunding

Wiktionary: avrunding

Wiktionary: rund opp

• Innføringen av euro og avrunding av valuta beløp (PDF; 200 kB) - Europakommisjonen, 1999

Individuelle bevis

1. ↑ Isaiah Lankham, Bruno Nachtergaele, Anne Schilling: Lineær algebra som en introduksjon til abstrakt matematikk. World Scientific, Singapore 2016, ISBN 978-981-4730-35-8 , s. 186.
2. ↑ Kommersiell avrunding - Hva er kommersiell avrunding? Billomat GmbH & Co. KG ( Nürnberg ), åpnet 31. mars 2018 (forklarer spesielt hvordan man bruker avrundede figurer ). 
3. ↑ Didaktikk av antall områder ( Memento fra 19. februar 2015 i Internet Archive ) (PDF; 118 kB) University of Augsburg, C. Bescherer.
4. ^ Ilja N. Bronstein et al.: Taschenbuch der Mathematik, ISBN 978-3808557891 .
5. ↑ Slik implementerer du tilpassede avrundingsprosedyrer - Artikkel 196652, Microsoft Support (2004).
6. ^ ^{A b} J. N. Bronstein , KA Semendjajew : Taschenbuch der Mathematik . Red.: Günter Grosche, Viktor Ziegler. 20. utgave. Verlag Harri Deutsch , Thun og Frankfurt / Main 1981, ISBN 3-87144-492-8 , avsnitt 2.1. "Beregning av elementær tilnærming" (redigert av G. Grosche), avsnitt 2.1.1. 
7. ↑ ^{a b} Bronstein, Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik . 20. utgave. 1981, avsnitt 2.1.1.1. "Tallrepresentasjon i posisjonssystemet", s. 149 . 
8. ^ ^{A b c} Bronstein, Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik . 20. utgave. 1981, avsnitt 2.1.1.2. "Avslutningsfeil og avrundingsregler", s. 150 .