Refleksivt forhold
Den refleksivitet av et to-sifret forhold på et sett er gitt Hvis gjelder for alle elementene i settet, dvs. hvert element er relatert til seg selv. Det kalles da refleksivt .
En relasjon kalles ikke-refleksiv hvis forholdet ikke gjelder for noe element i settet, dvs. ingen element er relatert til seg selv. Det er også relasjoner som verken er refleksive eller irreflexive , hvis forholdet gjelder for noen elementer i settet, men ikke for alle.
Refleksivitet er en av forutsetningene for en ekvivalensrelasjon eller en ordenrelasjon ; Urefleksibilitet er en av forutsetningene for en streng ordrerelasjon .
Formell definisjon
Hvis det er et sett og et tosifret forhold , definerer man (ved hjelp av infiksnotasjonen ):
- er refleksiv :
- er irrefleksiv :
Eksempler
Refleksiv
- Det mindre enn eller like forholdet til de reelle tallene er refleksivt fordi det alltid holder. Det er også en total ordre . Det samme gjelder forholdet .
- Den vanlige likeverdigheten på de reelle tallene er refleksiv, siden den alltid holder. Det er også en ekvivalensrelasjon .
- Den undergruppe forholdet mellom settene er refleksiv fordi det alltid holder. Det er også en delvis ordre .
Ureflekterende
- Det mindre enn forholdet til de reelle tallene er irrefleksivt fordi det aldri holder. Det er også en streng totalbestilling . Det samme gjelder forholdet .
- Ulikheten i de reelle tallene er ikke reflekterende fordi den aldri holder.
- Det virkelige delmengdeforholdet mellom sett er urefleksibelt fordi det aldri holder. Det er også en streng delordre .
Verken refleksiv eller irrefleksiv
Følgende forhold på settet med reelle tall er verken refleksivt eller irrefleksivt:
Årsak: For gjelder , for gjelder .
Representasjon som en rettet graf
Enhver relasjon på et sett kan sees på som en rettet graf (se eksempel på bildet ovenfor). Knutepunktene i grafen er elementene i . En rettet kant (en pil ) tegnes fra node til node hvis og bare hvis det gjelder.
Refleksiviteten til kan nå karakteriseres i grafen som følger: Det er en sløyfe for hver node . Tilsvarende er irreflektiviteten gitt av det faktum at det ikke er noen sløyfe for noen node .
kjennetegn
- Ved hjelp av den identiske relasjonen (som består av alle par ) kan man karakterisere begrepene som følger:
- er refleksiv
- er irrefleksiv
- Hvis forholdet er refleksivt eller irrefleksivt, gjelder dette også det omvendte forholdet . Eksempler: forholdet er for omvendt, forholdet er for omvendt .
- Hvis forholdet er refleksivt, er den komplementære relasjonen irrefleksiv. Hvis det er irrefleksivt, så er det refleksivt. Den komplementære relasjonen er definert av
- .
- Forholdet på det tomme settet er det eneste forholdet både refleksivt og irrefleksivt.