Plancks lov om stråling

Et glødetråd lyser rødt ved ca. 700 ° C og oransje til gult ved 2500 ° C.

Max Planck på den første Solvay-konferansen (1911) med sin strålingslov i bakgrunnen på tavla

Den Plancks lov stråling, er for hver temperatur , fordeling av den elektromagnetiske stråling utgangen av den termiske strålingen fra et sort legeme , avhengig av bølgelengde eller frekvens av strålingen fra legemet.

Max Planck fant strålingsloven i 1900 og la merke til at en avledning innenfor rammen av klassisk fysikk ikke er mulig. Snarere viste det seg å være nødvendig å innføre et nytt postulat der energiutvekslingen mellom oscillatorer og det elektromagnetiske feltet ikke skjer kontinuerlig, men i form av små energipakker (senere referert til som kvanta ). Plancks avledning av strålingsloven anses derfor å være fødselsstunden for kvantefysikk .

Grunnleggende og mening

I følge Kirchhoffs strålingslov er absorpsjonskapasiteten og emissiviteten for termisk stråling proporsjonal med hverandre for hver kropp for hver bølgelengde . En svart kropp (eller svart kropp ) er en hypotetisk kropp som helt absorberer stråling av hvilken som helst bølgelengde og intensitet. Siden dets absorpsjonskapasitet antar størst mulig verdi for hver bølgelengde, antar dens emissivitet også den maksimale mulige verdien for alle bølgelengder. En ekte (eller ekte ) kropp kan ikke avgi mer termisk stråling ved noen bølgelengde enn en svart kropp, som derfor representerer en ideell kilde til termisk stråling. Siden spekteret til den svarte kroppen (også kalt svart kroppsspektrum og Planck-spekteret ) ikke er avhengig av noen annen parameter enn temperatur , er det en nyttig referansemodell for mange formål .

I tillegg til den svarte kroppens betydelige praktiske betydning, blir oppdagelsen av Plancks lov om stråling i 1900 også ansett for å være fødsel av kvantefysikk , siden Planck måtte anta at lys (eller for å forklare formelen som opprinnelig ble funnet empirisk) . elektromagnetisk stråling generelt) er ikke kontinuerlig , men bare diskret i kvanta (i dag snakker man om fotoner ) absorberes og frigjøres.

Videre forenet og bekreftet Plancks strålingslov regelmessigheter som allerede var funnet før den ble oppdaget, delvis empirisk og delvis på grunnlag av termodynamiske hensyn:

• den Stefan-Boltzmanns lov , som indikerer den utstrålte effekt av et sortlegeme (som er proporsjonal med T ⁴ ).
• den Rayleigh-Jeans lov , som beskriver den spektrale energifordeling for lange bølgelengder.
• den Wien lov av stråling , som representerer den spektrale energifordeling for små bølgelengder.
• den Wiens forskyvningslov , den Wilhelm Wien (1864-1928) 1893 formulert, og som etablerer forholdet mellom emisjonsmaksimum av et sort legeme, og dens temperatur.

Derivasjon og historie

Som et forenklet eksempel kan du vurdere et kubeformet hulrom med sidelengde og volum som inneholder hulrom elektromagnetisk stråling i termisk likevekt. Bare stående bølger kan utvikle seg i likevekt; de tillatte bølgene kan løpe i hvilken som helst retning, men må oppfylle betingelsen om at et integrert antall halvbølger passer mellom to motstående hulromflater. Årsaken til dette er som følger: Siden de elektromagnetiske bølgene ikke kan eksistere innenfor veggene i hulrommet, er styrke og magnetfeltstyrker der null. Dette betyr at nodene til bølgene må være på overflaten til de indre veggene. Så bare visse diskrete svingningstilstander er tillatt; hele hulromsstrålingen er sammensatt av disse stående bølgene. ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle V}$

Tettheten til stater

Antall tillatte svingningstilstander øker ved høyere frekvenser fordi det er flere muligheter for bølger med mindre bølgelengde å passe inn i hulrommet på en slik måte at heltallbetingelsene for komponentene i -, - og - retning blir oppfylt. Antallet av disse tillatte svingningstilstandene i frekvensintervallet mellom og og per volum kalles tettheten til tilstandene og beregnes som følger ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle \ nu + \ mathrm {d} \ nu}$${\ displaystyle g (\ nu) \, \ mathrm {d} \ nu}$

${\ displaystyle g (\ nu) \, \ mathrm {d} \ nu \, = \, {\ frac {8 \ pi} {c ^ {3}}} \, \ nu ^ {2} \, \ mathrm {d} \ nu}$.

Den ultrafiolette katastrofen

Nå forstår man hver av disse oscillasjonstilstandene per frekvensintervall som en harmonisk oscillator av frekvensen . Hvis alle oscillatorer svinger i termisk likevekt ved temperaturen , ville det ifølge den jevne fordelingsloven for klassisk termodynamikk forventes at hver av disse oscillatorene bærer kinetisk energi og potensiell energi , dvs. total energi . Hvor er den Boltzmann konstant . Energitettheten til hulromsstrålingen i frekvensintervallet mellom og vil derfor være produktet av tettheten til tilstandene til de tillatte svingningstilstandene og den gjennomsnittlige energien for hver klassiske svingningstilstand , dvs. ${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle kT / 2}$${\ displaystyle kT / 2}$${\ displaystyle kT}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle \ nu + \ mathrm {d} \ nu}$${\ displaystyle g (\ nu) \, \ mathrm {d} \ nu}$${\ displaystyle kT}$

${\ displaystyle U _ {\ nu} ^ {RJ} (\ nu, T) \, \ mathrm {d} \ nu \, = \, {\ frac {8 \ pi} {c ^ {3}}} \ , kT \, \ nu ^ {2} \, \ mathrm {d} \ nu}$.

Dette er Rayleigh-Jeans-strålingsloven . Det gjenspeiler den faktisk målte energitettheten ved lave frekvenser, men forutsier feilaktig en energitetthet som alltid øker kvadratisk med høyere frekvenser, slik at hulrommet må inneholde en uendelig energi integrert over alle frekvenser ( ultrafiolett katastrofe ). Problemet er: Mens hver eksisterende vibrasjonstilstand i gjennomsnitt bare bidrar med kraften , men de er ute etter klassisk visning, er mange uendelig begeistret for slike vibrasjonstilstander, noe som vil føre til uendelig energitetthet i hulrommet. ${\ displaystyle kT}$

Den empiriske løsningen

I sin avledning av strålingsloven stolte ikke Planck på Rayleighs tilnærming, snarere startet han fra entropi og la til forskjellige ligninger på ligningene på en prøvebasis, som ifølge kunnskapen om fysikk på den tiden var uforståelig - men motsatte seg heller ikke dem. Et ekstra begrep som førte til en formel som beskrev spektralkurvene som allerede var målt veldig bra, var spesielt enkel (1900). Denne formelen forble rent empirisk - men den beskrev korrekt de kjente eksperimentelle målingene over hele frekvensspekteret. Men Planck var ikke fornøyd med det. Han lyktes i å erstatte strålingskonstantene, og fra den wienske formelen med naturlige konstanter gjensto bare en faktor ("hjelp"). ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle h}$

Kvantehypotesen

Basert på den forbedrede empiriske strålingsformelen, kom Planck til et epokerende resultat i løpet av få måneder. Det var fødselsstunden for kvantefysikk. Mot sin egen overbevisning måtte Planck innrømme at han bare kunne utlede kurven som ble bekreftet av eksperimentet hvis energiproduksjonen ikke fant sted kontinuerlig, men bare i multipler av de minste enhetene på hver frekvens. Disse enhetene har størrelsen , der det er en ny grunnleggende naturlig konstant, som snart ble referert til som Plancks handlingskvantum . Dette er kvantehypotesen introdusert av Planck . ${\ displaystyle h \ nu}$${\ displaystyle h}$

Følgelig kreves det en minimumsenergi for at en oscillator av frekvensen i det hele tatt skal bli eksitert. Oscillatorer, hvis minimumsenergier er betydelig høyere enn gjennomsnittlig termisk tilgjengelig energi , kan knapt eller ikke i det hele tatt være begeistret, de forblir frosne . De som har minimumsenergi bare litt over kan bli begeistret med en viss sannsynlighet, slik at en viss brøkdel av dem bidrar til den totale hulromsstrålingen med sine svingningstilstander. Bare svingningstilstander med lav minimumsenergi , dvs. lavere frekvenser, kan trygt absorbere den tilbudte termiske energien og blir begeistret i henhold til den klassiske verdien. ${\ displaystyle h \ nu}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle kT}$${\ displaystyle kT}$${\ displaystyle h \ nu}$

Kvantiserte vibrasjonstilstander

Statistisk termodynamikk viser at ved å anvende kvantehypotesen og Bose-Einstein-statistikken, bærer en svingningstilstand for frekvensen i gjennomsnitt følgende energi: ${\ displaystyle \ nu}$

${\ displaystyle E (\ nu, T) \, = {\ frac {h \ nu} {\ mathrm {e} ^ {\ left ({\ frac {h \ nu} {kT}} \ right)} - 1}}}$.

Gjelder som kjent veldig små ; dermed fortsetter det klassiske forholdet for lave frekvenser ; for høye frekvenser er derimot betydelig mindre og nærmer seg raskt null. ${\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {x} -1 \ approx x}$${\ displaystyle x}$${\ textstyle h \ nu \ ll kT}$${\ textstyle E (\ nu, T) \ approx kT}$${\ textstyle h \ nu \ gg kT}$${\ textstyle E (\ nu, T)}$

Slike elektromagnetiske oscillasjonstilstander med høye frekvenser kan godt eksistere i hulrommet i henhold til geometriske kriterier, men forholdet ovenfor betyr at de knapt kan bli begeistret med en gjennomsnittlig termisk energiforsyning fordi deres eksitasjonsterskel er for høy. Disse tilstandene bidrar derfor mindre til energitettheten i hulrommet. ${\ textstyle kT}$${\ textstyle h \ nu}$

Strålingsloven

Produktet av tettheten av tilstandene til de tillatte svingningstilstandene og den gjennomsnittlige energien per kvantisert svingningstilstand gir da allerede Planck energitetthet i hulrommet ${\ displaystyle g (\ nu) \, \ mathrm {d} \ nu}$${\ displaystyle E (\ nu, T) \,}$

${\ displaystyle U _ {\ nu} ^ {o} (\ nu, T) \, \ mathrm {d} \ nu = \, {\ frac {8 \ pi h \ nu ^ {3}} {c ^ { 3}}} {\ frac {1} {\ mathrm {e} ^ {h \ nu / kT} -1}} \, \ mathrm {d} \ nu}$.

Fordi gjennomsnittsenergien avtar sterkere ved høye frekvenser enn tettheten av tilstandene øker, reduseres den spektrale energitettheten - som sitt produkt - igjen mot høyere frekvenser - etter at den har gått gjennom et maksimum - og den totale energitettheten forblir endelig. Ved hjelp av sin kvanteoppgave forklarte Planck hvorfor den ultrafiolette katastrofen som er spådd av klassisk termodynamikk, faktisk ikke finner sted.

Strengt tatt er det ikke noe system i termodynamisk likevekt med stråling inn i rommet, men likevekt med strålingsfeltet kan fortsatt stilles direkte på overflaten av kroppen. Siden denne energien beveger seg vekk med hastighet og sprer seg i alle romlige retninger, oppnås spektral utstråling ved å multiplisere energitettheten med faktoren${\ displaystyle c}$${\ textstyle c / 4 \ pi}$

${\ displaystyle L _ {\ nu} (T) = \, {\ frac {2h \ nu ^ {3}} {c ^ {2}}} {\ frac {1} {\ mathrm {e} ^ {h \ nu / kT} -1}}}$.

betydning

Planck strålingsspektre for forskjellige temperaturer

Plancks strålingsspektre for forskjellige temperaturer i et dobbeltlogaritmisk plot

Det første tilstøtende bildet viser Plancks strålingsspektre av en svart kropp for forskjellige temperaturer mellom 300 K og 1000 K i en lineær representasjon. Den typiske formen kan sees med et tydelig uttalt strålingsmaksimum, et bratt fall mot korte bølgelengder og et lengre fall mot større bølgelengder. Posisjonen til strålingsmaksimum forskyver seg , som krevet av Wiens forskyvningslov , med økende temperatur til kortere bølgelengder. Samtidig tar man ifølge Stefan-Boltzmann-loven den totale emissiviteten (strålingskraft i området ) med den fjerde kraften til den absolutte temperaturen til ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle P = \ sigma AT ^ {4}}$

med Stefan-Boltzmann-konstanten . ${\ displaystyle \ textstyle \ sigma \ approx 5 {,} 67 \ cdot 10 ^ {- 8} \ mathrm {\ frac {W} {m ^ {2} K ^ {4}}}}$

Denne uforholdsmessige økningen i strålingsintensitet med økende temperatur forklarer den økende betydningen av varmestråling sammenlignet med varme som avgis via konveksjon med økende temperatur. Samtidig gjør dette forholdet det vanskelig å skildre strålingskurver over et større temperaturområde i et diagram.

Det andre bildet bruker derfor en logaritmisk underavdeling for begge akser. Spektre for temperaturer mellom 100 K og 10 000 K er vist her.

Kurven for 300 K er uthevet i rødt, som tilsvarer typiske omgivelsestemperaturer. Maksimum for denne kurven er 10 μm; I området rundt denne bølgelengden, den mid- infrarøde (MIR), skjer strålingsutvekslingen fra objekter ved romtemperatur. Infrarøde termometre for lave temperaturer og termografiske kameraer fungerer i dette området.

Kurven for 3000 K tilsvarer det typiske strålingsspekteret til en glødelampe . Nå sendes en del av den utstrålte strålingen allerede ut i det skjematisk angitte synlige spektrale området . Strålingsmaksimumet er imidlertid fortsatt i nær infrarød (NIR).

Kurven for 5777 K, solens effektive temperatur, er uthevet i gult . Deres strålingsmaksimum ligger midt i det synlige spektralområdet. Heldigvis er de fleste av UV-stråling som sendes ut av solen blir filtrert ut av ozonlaget i det jordens atmosfære .

Plancks strålingslov er representert i forskjellige formelvarianter som bruker mengder for intensiteter , flussdensiteter og spektralfordelinger som er passende for fakta under vurdering. Alle former for forskjellige strålingsstørrelser er bare forskjellige former for den ene loven.

Ofte brukte formler og enheter

Det er mange forskjellige varianter for lovens matematiske representasjon, avhengig av om loven skal formuleres som en funksjon av frekvensen eller bølgelengden, om intensiteten til strålingen skal betraktes i en bestemt retning eller strålingen i hele halvrommet, enten strålestørrelser skal vurderes, Energitetthet eller fotonummer skal beskrives.

Formelen for den spektralspesifikke strålingen til et svart legeme med absolutt temperatur brukes ofte . For dem gjelder ${\ displaystyle M _ {\ nu} ^ {o} (\ nu, T)}$${\ displaystyle T}$

i frekvensdisplayet:

${\ displaystyle M _ {\ nu} ^ {o} (\ nu, T) \, \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ nu \, = {\ frac {2 \ pi h \ nu ^ {3}} {c ^ {2}}} {\ frac {1} {\ mathrm {e} ^ {h \ nu / kT} -1}} \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ nu}$

SI-enhet på : W m −2 Hz −1${\ displaystyle M _ {\ nu} ^ {o} (\ nu, T)}$

og i bølgelengdedisplayet:

${\ displaystyle M _ {\ lambda} ^ {o} (\ lambda, T) \, \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ lambda \, = {\ frac {2 \ pi hc ^ {2 }} {\ lambda ^ {5}}} {\ frac {1} {\ mathrm {e} ^ {hc / \ lambda kT} -1}} \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ lambda }$

SI-enhet på : W m −2 m −1 . ${\ displaystyle M _ {\ lambda} ^ {o} (\ lambda, T)}$

${\ displaystyle M _ {\ nu} ^ {o} (\ nu, T) \, \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ nu}$er den strålende kraften som utstråles av overflateelementet i frekvensområdet mellom og inn i hele halvområdet. Neste er den Plancks konstant , den lysets hastighet og det Boltzmann konstant . ${\ displaystyle \ mathrm {d} A}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle \ nu + \ mathrm {d} \ nu}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle k}$

For spektral utstråling gjelder følgende tilsvarende:

i frekvensdisplayet:

${\ displaystyle L _ {\ nu} ^ {o} (\ nu, T) \, \ cos (\ beta) \, \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ nu \, \ mathrm {d } \ Omega = {\ frac {2h \ nu ^ {3}} {c ^ {2}}} {\ frac {1} {e ^ {h \ nu / kT} -1}} \ cos (\ beta) \, \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ nu \, \ mathrm {d} \ Omega}$

og i bølgelengdedisplayet:

${\ displaystyle L _ {\ lambda} ^ {o} (\ lambda, T) \, \ cos (\ beta) \, \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ lambda \, \ mathrm {d } \ Omega = {\ frac {2hc ^ {2}} {\ lambda ^ {5}}} {\ frac {1} {e ^ {hc / \ lambda kT} -1}} \ cos (\ beta) \ , \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ lambda \, \ mathrm {d} \ Omega}$

Med

${\ displaystyle L _ {\ nu} ^ {o} (\ nu, T) \, \ cos (\ beta) \, \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ nu \, \ mathrm {d } \ Omega}$er den strålende kraften fra overflateelementet i frekvensområdet og i at mellom azimutvinklene og og de polære vinklene og det romspannede vinkelelementet utstråles. Retningsavhengigheten til denne strålingskraften skyldes bare den geometriske faktoren; den spektrale utstrålingen i seg selv er uavhengig av retning. ${\ displaystyle \ mathrm {d} A}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle \ nu + \ mathrm {d} \ nu}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi + \ mathrm {d} \ varphi}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ beta + \ mathrm {d} \ beta}$${\ displaystyle \ mathrm {d} \ Omega}$${\ displaystyle \ cos}$

Når du konverterer mellom frekvens og bølgelengde, skal det bemerkes at pga

${\ displaystyle \ lambda = {\ frac {c} {\ nu}}}$

gjelder

${\ displaystyle | \ mathrm {d} \ lambda | = {\ frac {c} {\ nu ^ {2}}} | \ mathrm {d} \ nu | \ quad {\ text {and}} \ quad | \ mathrm {d} \ nu | = {\ frac {c} {\ lambda ^ {2}}} | \ mathrm {d} \ lambda |}$.

Ved hjelp av de to strålingskonstantene og kan den spesifikke spektralstrålingen også skrives i form: ${\ displaystyle c_ {1} = 2 \ pi hc ^ {2} \,}$${\ displaystyle c_ {2} = {\ tfrac {hc} {k}}}$

${\ displaystyle M _ {\ lambda} ^ {o} (\ lambda, T) \, \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ lambda \, = {\ frac {c_ {1}} {\ lambda ^ {5}}} {\ frac {1} {\ mathrm {e} ^ {c_ {2} / \ lambda T} -1}} \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ lambda}$.

Hvis den spektrale utstrålingen er integrert over alle frekvenser eller bølgelengder, beregnes den totale utstrålingen : ${\ displaystyle L ^ {o} (T)}$

${\ displaystyle L ^ {o} (T) \ cos (\ beta) \, \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ Omega = \ int _ {\ nu = 0} ^ {\ infty} L_ {\ nu} ^ {o} (\ nu, T) \ cos (\ beta) \, \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ nu \, \ mathrm {d} \ Omega}$

Evalueringen av integrerte avkastninger på grunn av : ${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {3}} {e ^ {x} -1}} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {\ pi ^ {4}} {15}}}$

${\ displaystyle L ^ {o} (T) \ cos (\ beta) \, \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ Omega = {\ frac {2 \ pi ^ {4} k ^ {4 }} {15t ^ {3} c ^ {2}}} T ^ {4} \ cos (\ beta) \, \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ Omega}$.

Se også

• Grå kropp
• Glør (lysutslipp)
• Stråleutveksling

litteratur

• Hans Dieter Baehr, Karl Stephan : Varme og masseoverføring. 4. utgave. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-40130-X (kapittel 5: Termisk stråling).
• Dieter Hoffmann: 100 år med kvantefysikk: Svarte kropper i laboratoriet . Eksperimentelt forarbeid for Plancks kvantehypotese. I: Fysiske ark . teip 56 , nr. 12 , 1. desember 2000, s. 43-47 , doi : 10.1002 / phbl.20000561215 ( wiley.com [PDF; 765 kB ]). 
• Gerd Wedler: Lærebok for fysisk kjemi. 4. utgave. Wiley-VCH, Weinheim 1997, ISBN 3-527-29481-3 , s. 111-114 og s. 775-779.
• Thomas Engel, Philip Reid: Fysisk kjemi. Pearson, München 2006, ISBN 3-8273-7200-3 , s. 330-332.

weblenker

• Plancks formel for stråling
• Om historien om oppdagelsen av strålingslover
• Utledning av Plancks strålingsformel ifølge Einstein . (Ulm University)

Individuelle bevis

1. ↑ FAKSIMIL FRA FORHANDLINGENE TYSK PHYSIKALISCHEN GESELLSCHAFT 2 (1900) s. 237: Om teorien om loven om energidistribusjon i det normale spekteret; av M. Planck . I: Fysiske ark . teip 4 , nr. 4 , 1948, ISSN  1521-3722 , s. 146–151 , doi : 10.1002 / phbl . 19480040404 . 
2. ↑ Hva er en svart kropp? - α-Centauri , episode 129 , 3. september 2003; se også 129 Hva er en svart kropp (publisert på YouTube 4. mai 2011, ibid rundt 6:20 am [dvs. fra de 6 minuttene og 20 sekundene] med: "[...] det såkalte black body spectrum eller - som det også kalles i dag blir - Planck-spekteret [...] ")
3. ↑ Universet, del 1: Astrofysikk - Harald Lesch , 2011
4. ↑ I motsetning til populære forestillinger, den Rayleigh-Jeans lov og ultrafiolette katastrofen spilte ingen rolle i Plancks oppdagelse av strålingen loven. Den fysisk meningsløse divergensen av Rayleigh-Jeans-loven ved høye strålingsfrekvenser ble først beskrevet (uavhengig) i 1905 av Einstein, Rayleigh og Jeans. Begrepet "ultrafiolett katastrofe" ble først i 1911 av Paul Ehrenfest brukt (se Paul Ehrenfest. Hvilke trekk ved hypotesen om lyskvanta spiller i teorien om termisk stråling en viktig rolle? I: Annals of Physics . Band 341 , nr. 11. januar 1911, s. 91-118 , doi : 10.1002 / andp.19113411106 .  )
5. Gi D. Giulini, N. Straumann: "... Jeg tenkte ikke så mye på det ..." Plancks merkelige vei til strålingsformelen . I: Fysiske ark . teip 56 , nr. 12 , 2000, s. 37-42 , arxiv : quant-ph / 0010008 . 
6. ↑ z. BA Unsöld, B. Baschek: Det nye kosmos . 6. utgave, Springer, Berlin 1999, s. 110.
7. Kart H. Karttunen, P. Kröger, H. Oja, M. Poutanen, KJ Donner: Fundamental Astronomy . 3. utgave, Springer, 2000, s. 119.