Operatøralgebra

Operatøralgebraer studeres i det matematiske delområdet av funksjonell analyse . Dette er generaliseringer av matrisealgebraene til lineær algebra .

introduksjon

Hvis normaliserte mellomrom og og er kontinuerlige , lineære operatorer , så er deres sammensetning også en kontinuerlig, lineær operator , og operatørens normer gjelder . Derfor blir rommet til de kontinuerlige, lineære operatørene i seg selv med sammensetningen som multiplikasjon, en normalisert algebra , som til og med er en Banach-algebra når den er fullført . ${\ displaystyle E, F, G}$ ${\ displaystyle A: E \ rightarrow F}$${\ displaystyle B: F \ rightarrow G}$ ${\ displaystyle B \ circ A: E \ rightarrow G}$${\ displaystyle \ | B \ circ A \ | \ leq \ | B \ | \ cdot \ | A \ |}$${\ displaystyle L (E)}$${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle E}$

Disse algebraene og deres underalgebraer kalles operatøralgebraer, med tilfelle at et Hilbert-rom blir undersøkt spesielt intensivt. Noen forfattere forstår begrepet operatøralgebra bare for å bety dette Hilbert-romtilfellet, dette gjelder spesielt eldre litteratur. De grunnleggende verkene av Francis J. Murray og John von Neumann , utgitt fra 1936 til 1943, har tittelen On rings of operators og omhandler algebraer som nå kalles Von Neumann algebras . ${\ displaystyle E}$

Banach algebras som operatør algebras

Enhver normalisert algebra kan representeres som en operatøralgebra. Den såkalte venstre - regelmessige representasjonen av , som tildeler operatøren til hvert element , hvor , er en isometrisk homomorfisme hvis den har ett element . Hvis det ikke er noe samlende element, bør man tilstede et. ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ ell _ {A} \ in L ({\ mathcal {A}})}$${\ displaystyle \ ell _ {A} (B): = AB}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

Hvilke homomorfismer som eksisterer fra en Banach-algebra til en operatøralgebra, blir undersøkt i representasjonsteori . En spesiell interesse gjelder representasjoner på Hilbert-rom , det vil si homomorfismer i operatøralgebra over et Hilbert-rom, noe som fører til begrepene Von Neumann-algebra og C * -algebra .

betydning

Operatøralgebraer over Banach-rom, spesielt over Hilbert-rom, tillater innføring av ytterligere topologier som sterk eller svak operatortopologi , sistnevnte er av særlig betydning på grunn av kompaktheten i enhetssfæren .

Et annet strukturelt element av operatøralgebraer i , som ikke er tilstede i noen Banach-algebraer, er uforanderlige underområder , det vil si underområder som gjelder for individuelle eller alle operatører av algebraen. Spesielt i Hilbert- romtilfellet er de ortogonale fremspringene på invariante delområder vanligvis ikke inneholdt i operatøralgebraen, men i kommutanten . ${\ displaystyle L (E)}$${\ displaystyle U \ delmengde E}$${\ displaystyle A (U) \ subset U}$${\ displaystyle A}$

De ubegrensede operatørene på et Hilbert-rom som er viktige for kvantemekanikken, danner ikke algebra, men kan relateres til operatøralgebraer. Videre, på grunn av det underliggende rommet, kan man snakke om egenvektorer , som representerer tilstandene i kvantemekanikken .

I tillegg til operatørnormen kan operatøralgebraer ha ytterligere normer og være komplette med hensyn til dette. På Hilbert-rom legges tillegget til operatører til som et ekstra strukturelt element og kan definere en involusjon på algebrene som vurderes. De skygge klasser fortjener spesiell omtale her, med spesielt tilfelle av spor klasse operatører i form av blandede tilstander i den matematiske formulering av kvantemekanikk.

weblenker

• Higson, Roe: Operatøralgebraer

Individuelle bevis

1. ^ FJ Murray, J. von Neumann: On rings of operators. Ann. of Math. (2), bind 37, 1936, side 116-229.
2. ^ FJ Murray, J. von Neumann: On rings of operators II. Trans. Amer. Math. Soc., Bind 41, 1937, side 208-248
3. ^ FJ Murray, J. von Neumann: On rings of operators IV. Ann. of Math. (2), bind 44, 1943, side 716-808.
4. ^ FF Bonsall, J. Duncan: Komplette normerte algebraer . Springer-Verlag 1973, ISBN 3-5400-6386-2 , kapittel III, Representasjonsteori
5. ^ Jacques Dixmier : Les algèbres d'opérateurs dans l'espace hilbertien: algèbres de von Neumann , Gauthier-Villars, 1957 ( ISBN 2-87647-012-8 )
6. ^ Jacques Dixmier: Les C * -algèbres et leurs représentations , Gauthier-Villars, 1969 ( ISBN 2-87647-013-6 )
7. ^ RV Kadison , JR Ringrose : Fundamentals of theory of Operator Algebras , Volume I, 1983, ISBN 0-1239-3301-3 , Theorem 5.1.3
8. ^ RV Kadison, JR Ringrose: Fundamentals of theory of Operator Algebras , bind I, 1983, ISBN 0-1239-3301-3 , kapittel 5.6
9. ^ Robert Schatten : Normidealer av helt kontinuerlige operatører. Resultater av matematikk og dets grenseområder, 2. del, ISBN 3-540-04806-5