Monotonisk kriterium

I følge monotonikriteriet konvergerer en monotont fallende, nedad begrenset sekvens mot en grenseverdi.

Den monotone kriterium , også den viktigste kriterium eller kriteriet for monoton konvergens , er en viktig konvergenskriterium for sekvenser og rekke i matematikk . Med monotonisitetskriteriet kan konvergensen av en avgrenset og monotont økende eller synkende sekvens av reelle tall bevises uten å vite den eksakte grensen . Det samme gjelder serier med ikke-negative eller ikke-positive summander.

Monotonisk kriterium for konsekvenser

kriterier

Monotonisk kriterium for episoder er:

En monotont voksende sekvens av reelle tall konvergerer hvis og bare hvis og bare hvis den er avgrenset over (tilsvarende: sekvensen har en grenseverdi ) .

Siden konvergensoppførselen til en sekvens ikke avhenger av et begrenset antall første sekvensbetegnelser, er det tilstrekkelig som en forutsetning at sekvensen oppfører seg monotont fra et bestemt sekvensuttrykk. Så er det en indeks i en rekke reelle tall slik at ${\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle N \ in \ mathbb {N}}$

${\ displaystyle a_ {n} \ leq a_ {n + 1}}$

er for alle , og det er videre en reell bånd slik at ${\ displaystyle n \ geq N}$${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle a_ {n} \ leq K}$

er for alle , så konvergerer denne sekvensen og holder for grenseverdien ${\ displaystyle n \ geq N}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} \ leq K}$.

Analogt konvergerer en monotont fallende sekvens hvis og bare hvis den er avgrenset under, og dens grenseverdi da er minst like stor som den nedre grensen. Med monotonikriteriet kan eksistensen av grenseverdien av en monoton sekvens bevises uten at den eksakte grenseverdien er kjent.

bevis

Tilfellet med en monotont voksende og oppad begrenset sekvens blir vurdert . ${\ displaystyle (a_ {n})}$

Trinn A.

Først er det vist at en oppoverbundet sekvens som øker monotont for nesten alle termer er konvergent.

Etter antagelse har settet nesten alle sekvensmedlemmer

${\ displaystyle A = \ {a_ {n}, n \ geq N \}}$

en overlegenhet fordi den er begrenset.${\ displaystyle a = \ sup A}$

Bli valgt etter eget ønske. Siden det ikke er noen nedre øvre grense enn , er det ingen øvre grense fra indeksen og utover . Gjelder derfor${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle a = \ sup A}$${\ displaystyle a- \ varepsilon}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle (a_ {n})}$

${\ displaystyle a- \ varepsilon <a_ {M} \ leq a}$.

for en riktig valgt indeks . Siden indeksen øker monotont, gjelder følgende${\ displaystyle M \ geq N}$${\ displaystyle (a_ {n})}$${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle a- \ varepsilon <a_ {m} \ leq a}$

for alle . Slik er det også${\ displaystyle m> M \ geq N}$

${\ displaystyle | a_ {m} -a | = a-a_ {m} <\ varepsilon}$,

og dermed konvergerer sekvensen (mot overlegenhet til nesten alle medlemmene).${\ displaystyle a}$

Trinn B.

Det gjenstår å vise at en konvergerende sekvens som vokser monotont i nesten alle termer, er avgrenset ovenfor. Bevisene er indirekte .

${\ displaystyle a = \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n}}$

være grensen for en sekvens som øker monotont fra indeksen . Eksistensen av et sekvensmedlem antas${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle a_ {n_ {0} \ geq N}> a}$.

Siden øker monotont for nesten alle , gjelder følgende${\ displaystyle (a_ {n})}$${\ displaystyle a_ {n}}$

${\ displaystyle a_ {n} \ geq a_ {n_ {0}} \ qquad}$ (1)

for alle .${\ displaystyle n> n_ {0} \ geq N}$

Bli valgt. Så er det en slik som gjelder for alle :${\ displaystyle \ varepsilon = a_ {n_ {0}} - a> 0}$${\ displaystyle M \ geq n_ {0}}$${\ displaystyle m> M \ geq n_ {0}}$

${\ displaystyle a_ {m} <a + \ varepsilon = a_ {n_ {0}}}$,

i strid med (1). Eksisterer ikke, og er begrenset oppover for alle av deres grenseverdi .${\ displaystyle a_ {n_ {0} \ geq N}> a}$${\ displaystyle (a_ {n})}$${\ displaystyle n \ geq N}$${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle \ Box}$

Det kan vises ganske analogt at:

• en monotont synkende, nedadgående avgrenset sekvens (mot det maksimale av nesten alle dens termer) konvergerer, og at
• en monotont fallende, konvergent sekvens er avgrenset under av grenseverdien.

eksempel

Konsekvensen med regelen

${\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {n} {n + 1}}}$

vokser monotont, der

${\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {n} {n + 1}} = {\ frac {n (n + 2)} {(n + 1) (n + 2)}} <{\ frac { n (n + 2) +1} {(n + 1) (n + 2)}} = {\ frac {(n + 1) ^ {2}} {(n + 1) (n + 2)}} = {\ frac {n + 1} {n + 2}} = a_ {n + 1}}$,

og det gjelder

${\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {n} {n + 1}} = {\ frac {n + 1-1} {n + 1}} = 1 - {\ frac {1} {n + 1 }} <1}$

for alle . Dermed konvergerer sekvensen til en grenseverdi med ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} \ leq 1}$.

Som du kan se fra dette eksemplet, kan grenseverdien for en sekvens være lik den angitte grensen, selv om hvert ord i sekvensen virkelig er mindre enn grensen.

applikasjon

I praksis blir monotonisitetskriteriet ofte brukt på en slik måte at man for en monotont voksende sekvens finner en monotont fallende sekvens som tilfredsstiller for alle . Så konvergerer begge også, og det er det ${\ displaystyle (a_ {n})}$${\ displaystyle (b_ {n})}$${\ displaystyle a_ {n} \ leq b_ {n}}$${\ displaystyle n \ geq N}$${\ displaystyle (a_ {n})}$${\ displaystyle (b_ {n})}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} \ leq \ lim _ {n \ to \ infty} b_ {n}}$.

For eksempel er sekvensen som brukes til å definere Eulers nummer

${\ displaystyle a_ {n} = \ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ right) ^ {n}}$

monotont voksende og konsekvensen

${\ displaystyle b_ {n} = \ left (1 + {\ frac {1} {n-1}} \ right) ^ {n}}$

faller monotont. Etter at den holder, konvergerer begge sekvensene. Hvis det (som i dette eksemplet) dannes en nullsekvens , er intervallnesting til stede, og den gjelder til og med ${\ displaystyle a_ {n} <b_ {n}}$${\ displaystyle b_ {n} -a_ {n}}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = \ lim _ {n \ to \ infty} b_ {n}}$.

Monotonisk kriterium for rader

kriterier

Monotonisk kriterium for serier er:

En serie med ikke-negative reelle summander konvergerer til en grense hvis og bare hvis delsummen er avgrenset over.

Det er også tilstrekkelig at sommerene ikke er negative over en viss indeks. Så det gjelder sommeren til en serie${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} a_ {i}}$

${\ displaystyle a_ {i} \ geq 0}$

for alle og er konsekvensen av delsummen ${\ displaystyle i \ geq N}$${\ displaystyle (s_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

${\ displaystyle s_ {n} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} \ leq K}$

avgrenset over av en reell avgrensning , så konvergerer denne serien og holder den for grenseverdien ${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} a_ {i} = \ lim _ {n \ to \ infty} s_ {n} \ leq K}$.

Analogt konvergerer en serie med ikke-positive reelle summander hvis og bare hvis deres delvise summer er avgrenset nedenfor. En serie som oppfyller monotonikriteriet er ikke bare konvergent, men til og med absolutt konvergent .

eksempel

Det blir din tur

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {i ^ {2}}} = 1 + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {9}} + {\ frac {1} {16}} + \ ldots}$

undersøkt for konvergens. Summandene er alle ikke-negative, så monotonikriteriet gjelder. Delsummen av serien er avgrenset oppover fordi ulikheten gjelder

${\ displaystyle {\ frac {1} {i-1}} - {\ frac {1} {i}} = {\ frac {i- (i-1)} {i (i-1)}} = { \ frac {1} {i ^ {2} -i}}> {\ frac {1} {i ^ {2}}}}$

og etter å ha løst den resulterende teleskopsummen, estimatet

${\ displaystyle s_ {n} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {i ^ {2}}} <1+ \ sum _ {i = 2} ^ {n} \ venstre ({\ frac {1} {i-1}} - {\ frac {1} {i}} \ høyre) = 1 + \ venstre (1 - {\ frac {1} {n}} \ høyre) < 2}$.

Følgelig konverterer serien til en grenseverdi som er på det meste . Den faktiske grensen for denne serien er på . ${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle {\ tfrac {\ pi ^ {2}} {6}} = 1 {,} 6449 \ ldots}$

bevis

Også her er det tilstrekkelig å vurdere saken med en serie med ikke-negative summander. En serie konvergerer når sekvensen av delsummene konvergerer. Av for nå følger ${\ displaystyle a_ {i} \ geq 0}$${\ displaystyle i \ geq N}$

${\ displaystyle s_ {n + 1} = s_ {n} + a_ {n + 1} \ geq s_ {n}}$

for , hvorved sekvensen av delsummen øker monotont fra denne indeksen og utover. Videre er sekvensen av delsummen underlagt en øvre grense. Konvergensen av delsummesekvensen og dermed konvergensen av serien følger deretter av monotonisitetskriteriet for sekvenser. ${\ displaystyle n \ geq N}$${\ displaystyle (s_ {n})}$

Se også

• Cauchy-kriterium

litteratur

• Harro Heuser : Lærebok for analyse - Del 1 . Springer, 2009, ISBN 3-8348-0777-X . 
• Wolfgang Walter : Analyse 1, bind 1 . Springer, 2004, ISBN 3-540-20388-5 . 

weblenker

Merknader

1. ↑ Mer informasjon om begrepet supremum og eksistensen av supremum for begrensede delmengder av reelle tall finner du i avsnittene i artikkelen Infimum og Supremum lenket her .