Ekstern dimensjon

Eksternt mål er et begrep fra den matematiske grenen av målteori , som ble introdusert av Constantin Carathéodory i 1914 . Eksterne dimensjoner spiller en viktig rolle i utvidelsen av pre-dimensjoner til dimensjoner ved hjelp av Carathéodory dimensjonsutvidelsessettet . Eksterne dimensjoner er generelt ikke dimensjoner.

definisjon

Et eksternt mål er en angitt funksjon av et sett med kraftsett i intervallet , som tilfredsstiller følgende aksiomer : ${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle [0, \ infty]}$

• ${\ displaystyle \ nu (\ emptyset) = 0}$
• ${\ displaystyle A \ subseteq B \ Rightarrow \ nu (A) \ leq \ nu (B)}$    " Monotoni "
• ${\ displaystyle \ nu \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} A_ {i} \ right) \ leq \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ nu (A_ {i} )}$    " -Subadditivity "${\ displaystyle \ sigma}$

Navnet eksternt tiltak er basert på begrepene internt og eksternt tiltak, som ble brukt av Borel og Lebesgue . Carathéodory's teori bruker ingen interne mål og forenkler i stor grad de grunnleggende bevisene.

Metrisk ytre dimensjon

En metrisk ytre dimensjon er en ytre dimensjon på et metrisk rom med tilleggsegenskapen: ${\ displaystyle (X, d)}$

• ${\ displaystyle \ nu (A \ cup B) = \ nu (A) + \ nu (B)}$

for alle separerte sett som ikke er tomme, og d. H. . For eksempel, når man konstruerer Lebesgue-tiltaket , brukes et metrisk ytre mål . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ inf \ {d (a, b): a \ i A, b \ i B \}> 0}$ ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda ^ {*}}$

konstruksjon

Eksterne dimensjoner

La være et hvilket som helst sett system med og et sett med . Hvis man setter for alle : ${\ displaystyle S \ subseteq {\ mathcal {P}} (X)}$${\ displaystyle \ emptyset \ i S}$${\ displaystyle \ mu \ colon S \ rightarrow [0, + \ infty]}$${\ displaystyle \ mu (\ emptyset) = 0}$${\ displaystyle A \ subseteq X}$

${\ displaystyle \ nu (A): = {\ begin {cases} \ inf \ \ left \ {\ left. \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mu (A_ {i}) \, \ høyre | \, A_ {i} \ i S, \ A \ subseteq \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} A_ {i} \ høyre \} \\ + \ infty, {\ text {if}} En {\ text {i ingen av abz}} \ mathrm {\ ddot {a}} {\ text {kan ikke forene sett fra}} S {\ text {er}}. \ End {cases}}}$

Så er det et eksternt tiltak . Hvis -underadditiv, gjelder da alle . På denne måten kan en ytre dimensjon konstrueres spesielt ved hjelp av et innhold eller en forhåndsdimensjon på en halvring eller ring . Noen ganger er konstruksjonen ovenfor bare definert for disse spesielle tilfellene. ${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ mu (A) = \ nu (A)}$${\ displaystyle A \ in S}$

Velger du Lebesgue-forhåndsmålet som forhåndsmåling , får du det ytre Lebesgue-Stieltjes-tiltaket . Hvis du velger Lebesgue-Stieltjes-forhåndsmålet , får du det ytre Lebesgue-Stieltjes-tiltaket.

Metriske ytre dimensjoner

La være et hvilket som helst system med sett i det metriske rommet med og et sett med . Man definerer ${\ displaystyle S \ subseteq {\ mathcal {P}} (X)}$${\ displaystyle (X, d)}$${\ displaystyle \ emptyset \ i S}$${\ displaystyle \ mu \ colon S \ rightarrow [0, + \ infty]}$${\ displaystyle \ mu (\ emptyset) = 0}$

${\ displaystyle \ nu _ {\ delta} (A): = {\ begin {cases} \ inf \ \ left \ {\ left. \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mu (A_ {i }) \, \ right | \, \ operatorname {diam} (A_ {i}) \ leq \ delta, \, A_ {i} \ in S, \ A \ subseteq \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} A_ {i} \ right \} \\ + \ infty, {\ text {if}} A {\ text {uten tellbar forening av sett fra}} S {\ text {med diameter}} \ leq \ delta {\ text {er inkludert}}, \ end {cases}}}$

slik er det også

${\ displaystyle \ nu (A): = \ sup _ {\ delta> 0} \ nu _ {\ delta} (A)}$

et metrisk ytre mål. Der er det diameteren av settet . ${\ displaystyle \ operatorname {diam} (A)}$ ${\ displaystyle A}$

På denne måten er for eksempel den ytre Hausdorff-dimensjonen definert, men den ytre Lebesgue-dimensjonen kan også oppnås på denne måten. For å gjøre dette bruker man og og som et system for mengder, halvringen av halvåpne intervaller. ${\ displaystyle d (x, y) = | xy |}$${\ displaystyle \ mu (A) = \ operatorname {diam} (A)}$

Målbarhet i henhold til Carathéodory

La være et ytre mål på kraften til et sett . En mengde kalles målbar med hensyn til eller kort -målbar, hvis ${\ displaystyle \ nu \ colon {\ mathcal {P}} (X) \ til [0, \ infty]}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle A \ subseteq X}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle \ nu}$

${\ displaystyle \ forall E \ i {\ mathcal {P}} (X): \ nu (E) = \ nu (E \ cap A) + \ nu (E \ cap A ^ {c})}$.

Dette målbarhetsbegrepet kommer fra Constantin Carathéodory . Tilsvarende er definisjonen at en størrelse er målbar hvis og bare hvis ${\ displaystyle A \ subseteq X}$${\ displaystyle \ nu}$

${\ displaystyle \ quad \ nu (E) \ geq \ nu (E \ cap A) + \ nu (E \ cap A ^ {c})}$gjelder alle .${\ displaystyle E \ subseteq X}$

De to karakteriseringene er ekvivalente, siden likhetstegnet følger av σ-underadditiviteten til det eksterne målet.

Eksempler

• ${\ displaystyle \ emptyset, X}$er målbare.${\ displaystyle \ nu}$
• Utfyllinger av målbare størrelser er målbare: Vær målbare. Da er det også målbart.${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle A \ subseteq X}$ ${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle A ^ {c}}$ ${\ displaystyle \ nu}$
• Nullmengder med hensyn til den ytre dimensjonen er målbare: La med . Da- målbart. På samme måte - målbart, hvis det gjelder.${\ displaystyle A \ subseteq X}$${\ displaystyle \ nu (A) = 0}$${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle \ nu (A ^ {c}) = 0}$

Differensiering fra andre målbare vilkår

Når et sett kan måles, menes det vanligvis at dette settet er i en viss σ-algebra . Denne oppfatningen av målbarhet avhenger i hovedsak av måle rom der man befinner seg. Dette er grunnen til at man noen ganger snakker om målbarheten med hensyn til et målerom .

I motsetning til dette er begrepet målbarhet som brukes her uavhengig av et sett system. Det avhenger bare av det eksterne tiltaket som er definert på hele strømmen. I følge Carathéodory kalles målbarhet også målbarhet med hensyn til en ekstern dimensjon .

σ-algebra av ν-målbare sett

Hvis det er et eksternt mål, er det også mengden ${\ displaystyle \ nu}$

${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {\ nu} = \ {A \ subset X | A {\ text {is}} \ nu {\ text {-measurable}} \}}$

en σ-algebra og et komplett mål . ${\ displaystyle \ nu | _ {{\ mathcal {A}} _ {\ nu}}}$

Det kan også vise at hvis og Borel σ-algebra inneholder når et metrisk ytre mål på det metriske rommet er. ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (X)}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle (X, d)}$

Se også

• Måle
• Målbare mengder

litteratur

• Jürgen Elstrodt : Måle- og integrasjonsteori. 4., korrigert utgave. Springer, Berlin et al. 2005, ISBN 3-540-21390-2 , kapittel II § 4.1.
• Heinz Bauer : Måle- og integrasjonsteori. 2., revidert utgave. de Gruyter, Berlin et al. 1992, ISBN 3-11-013626-0 , § 5.