Logaritmisk tabell

Side av en firesifret loggbord fra 1912

Logaritmebord fra 1804

Logaritmen tabell er en tabellarisk fremstilling av de mantissas av logaritmer . En mer presis loggtabell går vanligvis over flere sider i en bok. Logaritmebord har vært et viktig aritmetisk hjelpemiddel i århundrer , spesielt innen naturvitenskap og ingeniørfag. Mange beregninger i skolematematikk, f.eks. B. å trekke vanskelige røtter, kunne bare utføres med deres hjelp. Oppfinnelsen og den utbredte bruken av lommekalkulatorer og datamaskiner har gjort bruken av loggbord, som ligner på lysbildene , praktisk talt fullstendig overflødig i løpet av få år.

De vanligste tabellene var den dekadiske logaritmen (til base 10 ) med en oppløsning på 1,00 til 9,99.

historie

For logaritmens historie, se hovedartikkelen Logaritme: Historie .

Med sitt arbeid Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio var John Napier den første til å publisere en logaritmisk tabell i 1614 og regnes for å være oppfinneren. Først var han opptatt av enklere og mer presis bruk av trigonometriske tabeller som ble brukt på den tiden. I et vedlegg Constructio vurderte Napier å ta en fast base, noe hans venn Briggs snart gjorde.

Jost Bürgi var involvert i innføringen og utviklingen av desimaltallene, som var nødvendige for praktisk regning, og beregnet den første logaritmetabellen 1603-11 uavhengig av Napier. Kepler oppfordret ham flere ganger til å publisere den, men dette skjedde ikke før 1620 under Arithmetic and Geometric Progress Tabuln, ifølge Napier. Som ansatt hos Johannes Kepler brukte han logaritmetabellene som ble laget for astronomiske beregninger. Disse tabellene var rent numeriske. Bürgi har allerede vært i stand til å unngå systematiske feil ved å beregne dreiepunkter uavhengig.

Henry Briggs introduserte 10 som et enhetlig grunnlag i 1624 . Han kunne ikke lenger fullføre bordet selv - her ble logaritmene til tallene fra 1 til 20 000 og fra 90 000 til 100 000 oppført med 14 sifre. Den ble utgitt i sin helhet av de nederlandske forlagene Adriaan Vlacq og Ezechiel de Decker i 1627/28 i Nederland. Vlacq-tabellene inneholdt relativt små 603 feil. De fortrengte Napiers tabletter fullstendig og etterlot ingen interesse for Keplers Chilias logarithmorum i 1624.

Tabeller ble beregnet ved hjelp av eksponentiering. Først etter oppfinnelsen av uendelig liten beregning var flere og mer konvergerende serier tilgjengelig for beregning.

Med Nicolaus Mercator hadde man muligheten til å bruke serier (1668 for ln (1 + x) ) for beregningen, likevel tok det mer enn 100 år til Jurij Vega ga ut sin Thesaurus logarithmourum completeus nesten uten feil i 1783 , som var den mest berømte tabellen og for nesten alle lavere tall dannet grunnlaget. Carl Bremiker forbedret Vega-Bremiker ( Vega-Bremiker ).

bruk

Logaritmetabeller gjør det mulig å redusere multiplikasjon og divisjon av tall til enklere addisjon og subtraksjon . Før det var mekaniske eller elektriske beregningsmaskiner, gjorde stokkbordene aritmetikk mye lettere. Så var logaritmer i skolen , blant annet i matematikk og fysikkskolen eller uunnværlig ledsager.

Produktet av to tall og skyldes loven om logaritmer ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle \ log _ {x} (a \ cdot b) = \ log _ {x} a + \ log _ {x} b}$

beregnes ved å se opp logaritmen base nummer og at basen tall i tabellen. Summen av de to logaritmene dannes og det blir søkt i tabellen. Tallet som resulterer fra denne summen som en logaritme er da produktet av og . ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

Ved hjelp av en logaritmetabell kan aritmetiske operasjoner spores tilbake til neste enklere operasjon: multiplikasjon til addisjon, divisjon til subtraksjon, eksponentiering til multiplikasjon og kvadratrot (ekstraksjon av røtter) til divisjon. Disse avkastningene er basert på følgende logaritmiske lover:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ log _ {x} (a \ cdot b) & = \ log _ {x} a + \ log _ {x} b; && a, b \ in \ mathbb {R} ^ {+} \\\ log _ {x} \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) & = \ log _ {x} a- \ log _ {x} b; && a, b \ in \ mathbb {R} ^ {+} \\\ log _ {x} (a ^ {b}) & = b \ cdot \ log _ {x} a; && a \ in \ mathbb {R} ^ { +}, \ b \ in \ mathbb {R} \\\ log _ {x} {\ sqrt [{b}] {a}} & = {\ frac {1} {b}} \ cdot \ log _ { x} a; && a \ in \ mathbb {R} ^ {+}, \ b \ in \ mathbb {R} \ setminus \ {0 \} \ end {aligned}}}$

konstruksjon

De vanligste var tre-, fire- og femsifrede loggbord. Jo større nøyaktigheten til et bord er, desto større er omfanget. Firesifrede loggtabeller ble ofte brukt på skolene frem til 1970-tallet.

Enkle tresifrede loggtabeller er strukturert slik at de to første sifrene (dvs. 10 til 99) danner den venstre kanten av tabellen, mens det tredje sifferet (0 til 9) fungerer som kolonneoverskrift.

Antallområdet fra 1,00 til 9,99 er tilstrekkelig når du bruker logaritmene til base 10. Logaritmen ti ganger, hundre ganger osv. Av et tall kan beregnes ved å modifisere heltall i henhold til antall steder (antall steder i foran desimaltegnet minus 1). Se Logarithmengesetz av multiplikasjon . For eksempel: Logaritmen til ensifret nummer 2 handler om 0,30103; det til det tosifrede tallet 20 er 1.30103; logaritmen til det tresifrede tallet 200 er 2.30103 osv. For tall som er mindre enn 1, gjelder følgende tilsvarende: og . ${\ displaystyle \ log _ {a} (ax) = \ log _ {a} (a) + \ log _ {a} (x) = 1 + \ log _ {a} (x)}$${\ displaystyle \ log (0 {,} 2) \ ca -1 + 0 {,} 30103 = -0 {,} 69897}$${\ displaystyle \ log (0 {,} 02) \ ca -2 + 0 {,} 30103 = -1 {,} 69897}$

Logaritmer for tall med fire gyldige sifre kan bestemmes ved lineær interpolasjon .

Siden loggtabeller ble sett på som verktøy som brukes daglig, ble de ofte beriket med tilleggsinformasjon. For eksempel ble samlinger av formler fra geometri og trigonometri inkludert, datasamlinger, for eksempel om kroppene som utgjør solsystemet vårt , samt livstabeller som eksempler på demografiske datasamlinger og mye mer

Produsere

Logaritmetabeller ble bestemt fra lister over verdier for den inverse funksjonen , eksponentiering , ved interpolasjon.

PP tabletter

Interpolasjonstabeller er inkludert i tabellene for lineær interpolasjon. PP står for partes proportionales og er en lineær interpolasjon.

${\ displaystyle x = \ log _ {b} a}$

Utdrag fra den dekadiske (basen er 10) logaritme, tall (den numeriske verdien ) til venstre og over, mantissa (som betyr desimaler ) til høyre for femsifrede logaritmer. Desimalene er delt inn i grupper på to og tre, de tre siste sifrene er til høyre. I andre tabeller, som for eksempel her, blir 82 ikke gjentatt, men bare skrevet en gang i kolonnen, og bare når den øker til 83, står det nedenfor i kolonnen: ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle x}$

PP-brett:

Hvis du vil bestemme en interpolert mantissa for tallet 66108, må du legge til åtte ganger den tiende delen av tabellforskjellen 7 (horisontal forskjell mellom tabellverdiene), dvs. 5,6 eller 0,000056 og ville da ha avrundet m = 4,82026 .

Hvis du vil legge til et annet siffer, tar du deler av tabellforskjellen delt på 100 i stedet for 10. Bare det siste sifferet skal avrundes. For det sekssifrede tallet N = 6613,78 i første trinn 4,2 i det andre 0,48 og mottar deretter fem-sifret m = 82040 + 4,2 + 0,48 = 82045, dvs. 3,82045.

Hvis du har et firesifret tall M = 82116 (3.82116) mellom M = 82112 og M = 82119, må N være mellom N = 6624 og N = 6625. Tabellforskjellen er 7, ytterligere 4 av mantissaen er mest sannsynlig å finne i tabellen, så på 3,5 er tallet 6624,5, hvis du avrunder 4,2, ville det være 6624,6. 3,5 kan økes igjen med 0,49, noe som betyr 0,07 i tabellen, så tallet N er endelig 6624 + 0,5 + 0,07 = 6624,57, som er avrundet til 6624,6. Hvordan gjøre matte med kalkulatoren.

Som du kan se, er det gitt tabeller for forskjellene 7 og 6, da begge vises i tabellen, 027 til 033 er seks, etterfulgt av syv igjen, 033 til 040.

Trivia

Loggbord spilte en rolle i oppdagelsen av Benfords lov (faktisk av Simon Newcomb ). Siden med den ene som det ledende sifferet trengs oftere enn de andre sifrene og slites derfor raskere ut.

Kjente problemer

• Vega-Bremiker , syvsifrede logaritmer og trigonometriske funksjoner, fra 1795
• Wilhelm Jordan (geodesist) , logaritmer og hjelpetabeller
• FG Gauss : Fem-sifret komplette logaritmiske og trigonometriske tabeller . (Over 100 utgaver siden 1870). 

weblenker

Wiktionary: Logaritmietabell  - forklaringer på betydninger, ordets opprinnelse, synonymer, oversettelser

• Informasjon om John Napier (University of St. Andrews, Skottland )
• Liste over ofte brukte tabeller med innholdsfortegnelse og to illustrasjoner hver av bokomslaget og en side.
• LOCOMAT, Loria Collection of Historical Tables

Individuelle bevis

1. ↑ Denis Roegel [1]
2. ^ Athenaeum 15. juni 1872. Se også Månedlige kunngjøringer fra Royal Astronomical Society , mai 1872.
3. ↑ Arno Schmidt viser rundt 400 feil, se heldig pose