Kinetisk energi

Den kinetiske energien (fra gammelgresk κίνησις Kinesis , tysk , bevegelse ' ) eller kinetisk energi eller sjelden kinetisk energi er energien som et objekt på grunn av bevegelsen inneholder. Det tilsvarer arbeidet som må utvides for å flytte objektet fra hvile til kortvarig bevegelse. Det avhenger av massen og hastigheten til den bevegelige kroppen.

Ofte eller brukes som et symbol for den kinetiske energien . Den SI - enhet av kinetisk energi er joule .${\ displaystyle T}$${\ displaystyle E _ {\ mathrm {kin}}}$

Konseptet med kinetisk energi som en størrelse som beholdes i tilfelle elastiske kollisjoner og mange andre mekaniske prosesser ble introdusert som vis viva ('levende kraft') av Gottfried Wilhelm Leibniz , som kranglet med tilhengerne av René Descartes om riktig bevaring mengdesag i mekanikk (1686). Imidlertid var denne størrelsen større med en faktor 2 enn den kinetiske energien som er gyldig i dag. Faktoren ¹ ⁄ ₂ i formelen for kinetisk energi finnes i Daniel Bernoulli allerede i 1726 . Det faktiske energikonseptet dukket opp først på 1800-tallet, spesielt i skolen for anvendt matematikk i Frankrike og med fremkomsten av termodynamikk . I mekanikken på 1700-tallet var hovedemnet for etterforskning himmelmekanikk , den spilte foreløpig ingen hovedrolle.

Kinetisk energi i klassisk mekanikk

Massepunkt

I klassisk mekanikk avhenger den kinetiske energien til et massepunkt av massen og hastigheten : ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle v}$

${\ displaystyle E _ {\ mathrm {kin}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}$

Å kjøre bil, for eksempel massen med en hastighet på , har den derfor en kinetisk energi på ( Joule , er SI- enheten for energi). ${\ displaystyle m = 1000 \, \ mathrm {kg}}$${\ displaystyle v = 100 \, \ mathrm {km} / \ mathrm {h}}$${\ displaystyle E = {\ frac {1} {2}} \ cdot 1000 \, \ mathrm {kg} \ cdot \ left (100 \, {\ frac {\ mathrm {km}} {\ mathrm {h}} } \ høyre) ^ {2} \ approx {\ frac {1} {2}} \ cdot 1000 \, \ mathrm {kg} \ cdot \ left (27 {,} 78 \, {\ frac {\ mathrm {m }} {\ mathrm {s}}} \ right) ^ {2} = 385 \, 800 \, \ mathrm {J}}$${\ displaystyle \ mathrm {J}}$

Hvis man beskriver kroppens bevegelsestilstand ikke ved hastighet , men ved impuls , slik det er blant andre. er vanlig i Hamiltonian mekanikk , følgende gjelder den kinetiske energien (på grunn av ): ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p = mv}$

${\ displaystyle E _ {\ mathrm {kin}} = {\ frac {p ^ {2}} {2m}}}$

Enkel avledning

Hvis en massemasse akselereres fra hvile til hastighet , må akselerasjonsarbeidet legges til. Med konstant kraft gjelder følgende: ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle W}$

${\ displaystyle W = Fs}$,

hvor er avstanden i retning av styrken. Kraften som tilføres kroppen en jevn akselerasjon , i henhold til den grunnleggende ligningen for mekanikk er . Etter en stund er hastigheten nådd og avstanden er tilbakelagt. Alt det ovennevnte gir resultater i akselerasjonsarbeidet ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle F = ma}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle v = at}$${\ displaystyle s = {\ tfrac {1} {2}} ved ^ {2}}$

${\ displaystyle W = ma \ cdot {\ frac {1} {2}} ved ^ {2} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}$.

Siden den kinetiske energien har verdien null i hvile, når den akkurat denne verdien etter akselerasjonsprosessen . Derfor for en massemasse med hastigheten : ${\ displaystyle W}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle v}$

${\ displaystyle E _ {\ mathrm {kin}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}$

Bevegelse i et koordinatsystem

Hvis du beskriver bevegelsen til et legeme i et koordinatsystem, kan den kinetiske energien beregnes som følger, avhengig av valget av koordinatsystemet :

• Kartesiske koordinater ( x , y , z ):

${\ displaystyle E _ {\ mathrm {kin}} = {\ frac {1} {2}} m \ left ({\ dot {x}} ^ {2} + {\ dot {y}} ^ {2} + {\ dot {z}} ^ {2} \ right)}$

• Plane polarkoordinater ( ):${\ displaystyle r, \ varphi}$

${\ displaystyle E _ {\ mathrm {kin}} = {\ frac {1} {2}} m \ left ({\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ varphi }} ^ {2} \ høyre)}$

• Sfæriske koordinater ( ):${\ displaystyle r, \ varphi, \ vartheta}$

${\ displaystyle E _ {\ mathrm {kin}} = {\ frac {1} {2}} m \ left (r ^ {2} \ left [{\ dot {\ vartheta}} ^ {2} + {\ prikk {\ varphi}} ^ {2} \ sin ^ {2} \ vartheta \ right] + {\ dot {r}} ^ {2} \ right)}$

• Sylindriske koordinater ( ):${\ displaystyle r, \ varphi, z}$

${\ displaystyle E _ {\ mathrm {kin}} = {\ frac {1} {2}} m \ left ({\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ varphi }} ^ {2} + {\ dot {z}} ^ {2} \ høyre)}$

Punktet over koordinaten betyr dens endring over tid, avledningen i henhold til tiden. Formlene tar ikke hensyn til energien som kan være i kroppens egen rotasjon.

Stive kropper

Den kinetiske energi av et stivt legeme med den totale masse og hastigheten av dens tyngdepunkt er summen av energien fra bevegelsen av tyngdepunktet ( translatoriske energi ) og den rotasjonsenergi fra rotasjon rundt tyngdepunktet: ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle v _ {\ mathrm {s}}}$

${\ displaystyle E _ {\ mathrm {kin}} = {\ frac {1} {2}} M {v _ {\ mathrm {s}}} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} J_ {\ mathrm {s}} \ omega ^ {2}}$

Her er det kroppens øyeblikk av treghet med hensyn til dets tyngdepunkt, og den vinkelhastigheten av rotasjonen. ${\ displaystyle J _ {\ mathrm {s}}}$${\ displaystyle \ omega}$

Med treghetstensoren skrives dette generelt som: ${\ displaystyle I}$

${\ displaystyle E _ {\ mathrm {kin}} = {\ frac {1} {2}} M {v _ {\ mathrm {s}}} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ omega}} ^ {T} I {\ boldsymbol {\ omega}}}$

Hydrodynamikk

I hydrodynamikk , kinetisk energi tetthet er ofte gitt i stedet for kinetisk energi . Dette uttrykkes vanligvis av en liten eller : ${\ displaystyle e}$${\ displaystyle \ epsilon}$

${\ displaystyle e _ {\ mathrm {kin}} = {\ frac {E _ {\ mathrm {kin}}} {V}} = {\ frac {1} {2}} \ rho v ^ {2}}$

Her er tettheten og V volumet. ${\ displaystyle \ rho}$

Kinetisk energi i relativistisk mekanikk

Relativistisk og klassisk kinetisk energi i sammenligning

I relativistisk fysikk gjelder den ovennevnte avhengigheten av den kinetiske energien til hastigheten omtrent til hastigheter som er betydelig lavere enn lysets hastighet . Fra antagelsen om at den kinetiske energien er forskjellen mellom total energi og hvilenergi , følger det: ${\ displaystyle E _ {\ mathrm {kin}}}$

${\ displaystyle E _ {\ mathrm {kin}} = \ gamma mc ^ {2} -mc ^ {2} = \ left (\ gamma -1 \ right) mc ^ {2}}$

Her er lysets hastighet, masse og den Lorentz faktor${\ displaystyle c}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ gamma}$

${\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1- (v / c) ^ {2}}}}.}$

Den Taylor-utvidelsen ifølge får ${\ displaystyle v / c}$

${\ displaystyle E _ {\ mathrm {kin}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} + {\ frac {3} {8}} {\ frac {mv ^ {4}} { c ^ {2}}} + \ cdots}$,

dermed for den newtonske kinetiske energien igjen. ${\ displaystyle v \ ll c}$

Siden energien måtte vokse utover alle grenser hvis hastigheten går mot lysets hastighet, er det ikke mulig å akselerere en masselastet kropp til lysets hastighet. ${\ displaystyle \ lim _ {v \ to c} E _ {\ mathrm {kin}} = \ infty,}$

Diagrammet til høyre viser den relativistiske og newtonske kinetiske energien som en funksjon av hastigheten (målt i multipler av lysets hastighet) for en kropp med massen av . ${\ displaystyle m = 1 \, \ mathrm {kg}}$

Siden hastigheten til et bevegelig legeme avhenger av referansesystemet, gjelder dette også dets kinetiske energi. Dette gjelder i Newtonian og relativistisk fysikk.

Søknadseksempler

Relativistisk hastighet på et elektron etter å ha passert gjennom et elektrisk felt

I det elektriske feltet øker energien til et elektron med ladning og masse lineært med akselerasjonsspenningen som går gjennom . Den kinetiske energien er nå forskjellen mellom relativistisk total energi og resten energi ₀ . Så den kinetiske energien er: ${\ displaystyle e}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle eU}$

${\ displaystyle e \ cdot U = E-E_ {0}}$

Merk at for den totale energien

${\ displaystyle E ^ {2} = c ^ {2} p ^ {2} + E_ {0} ^ {2} \ quad (*)}$

gjelder ( : relativistisk momentum) og forholdet mellom momentum og total energi ${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle cp = E \ cdot {\ frac {v} {c}}}$

består, følger den for den totale energien fra : ${\ displaystyle (*)}$

${\ displaystyle E (v) = {\ frac {E_ {0}} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}$

Hvis du nå beregner forskjellen fra og , setter uttrykket likt og løser for , får du endelig: ${\ displaystyle E (v)}$${\ displaystyle E_ {0}}$${\ displaystyle e \ cdot U}$${\ displaystyle v}$

${\ displaystyle v = c \ cdot {\ sqrt {1 - {\ left ({\ frac {1} {1 + {\ frac {eU} {E_ {0}}}}} \ right)} ^ {2} }}}$ med resten av energien til et elektron ${\ displaystyle E_ {0} = 0 {,} 51 ​​\, \ mathrm {MeV}}$

Med akselerasjonsspenninger under 1 kV kan hastigheten estimeres fra den klassiske tilnærmingen for kinetisk energi; med høyere energier må det gjøres relativistiske beregninger. Ved en spenning på 10 kV når elektronene en hastighet på nesten 20% av lysets hastighet, ved 1 MV 94%.

The Large Hadron Collider leverer protoner med en kinetisk energi på 6,5 TeV. Denne energien er omtrent 8 tusen ganger større enn resten av energien til et proton. I tilfelle en kollisjon mellom motsatt akselererte protoner, kan partikler med tilsvarende høy hvileenergi oppstå.

Kinetisk energi i kvantemekanikk

I kvantemekanikk er den forventede verdien av den kinetiske energien til en massepartikkel , som er beskrevet av bølgefunksjonen , gitt av ${\ displaystyle \ langle {\ hat {E}} _ {\ mathrm {kin}} \ rangle}$${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle \ vert \ psi \ rangle}$

${\ displaystyle \ langle {\ hat {E}} _ {\ mathrm {kin}} \ rangle = {\ frac {1} {2m}} \ langle \ psi | {\ hat {P}} ^ {2} | \ psi \ rangle}$,

hvor er kvadratet til momentumoperatoren til partikkelen. ${\ displaystyle {\ hat {P}} ^ {2}}$

I formalismen av tetthetsfunksjonell teori antas det bare at elektrondensiteten er kjent, det vil si at bølgefunksjonen ikke trenger å være kjent formelt. Med elektrontettheten er den eksakte funksjonen til kinetisk energi for elektroner ukjent; Imidlertid, hvis en enkelt elektron blir vurdert i tilfelle , kan den kinetiske energien tas som ${\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r})}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N = 1}$

${\ displaystyle E _ {\ mathrm {kin}} [\ rho] = \ int {\ frac {1} {8}} {\ frac {\ nabla \ rho (\ mathbf {r}) \ cdot \ nabla \ rho (\ mathbf {r})} {\ rho (\ mathbf {r})}} \ mathrm {d} ^ {3} r}$

skrevet, hvor den Weizsäcker funksjonelt er den kinetiske energien. ${\ displaystyle E _ {\ mathrm {kin}} [\ rho]}$

Se også

• Potensiell energi
• Bevaring av energiloven
• Trekkraft (kinetisk energi i geografi)

litteratur

• Wolfgang Nolting : Klassisk mekanikk. I: Grunnkurs i teoretisk fysikk. Vol. 1, 8. utgave. Springer, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-34832-0 .
• Richard P. Feynman : Feynman foreleser om fysikk. Mekanikk, stråling, 5. varme , forbedret utgave, endelig utgave. Oldenbourg, München / Wien 2007, ISBN 978-3-486-58444-8 (= Feynman-forelesningene om fysikk , bind 1).
• Paul A. Tipler : Fysikk. 3. korrigerte opptrykk av 1. utgave. 1994, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg / Berlin 2000, ISBN 3-86025-122-8 .
• Ludwig Bergmann , Clemens Schaefer : Mekanikk - Akustikk - Varme. I: Lærebok for eksperimentell fysikk. Vol. 1, 12. utgave. Walter de Gruyter, Berlin 2008, ISBN 978-3-11-019311-4 .
• Rainer Müller : Klassisk mekanikk: fra langhopp til Mars-fly . De Gruyter, 25. september 2015, ISBN 978-3-11-044530-5 .
• Dieter Meschede : Gerthsen Physics . Springer-Verlag, 27. februar 2015, ISBN 978-3-662-45977-5 .

weblenker

• Litteratur av og om kinetisk energi i katalogen til det tyske nasjonalbiblioteket

Individuelle bevis

1. ↑ sammenlign 1.602 · 10 ⁻¹⁹ J = 1 eV = 1.602 · 10 ⁻¹⁹ C · V = 1.602 · 10 ⁻¹⁹ A · s · V = 1.602 · 10 ⁻¹⁹ W · s = 3.827 · 10 ⁻²³ kilokalorier kcal ( liste av størrelsesordener av energien ).
2. ↑ Szabo: History of Mechanical Principles. Birkhäuser, s. 71.
3. ↑ Max Jammer : Article Energy. I: Donald Borchert (red.): Encyclopedia of Philosophy. Thomson Gale, 2006.
4. ^ AP fransk: Den spesielle relativitetsteorien - MIT introduksjonskurs i fysikk 1968, s. 19-23.