Foucaults pendel

Foucault-pendelen i Paris Panthéon

Foucaults pendel på nordpolen til den roterende jorden

En Foucault-pendel er en lang, sfærisk pendel med en stor pendelmasse, ved hjelp av hvilken jordens rotasjon kan oppdages uten referanse til observasjoner på himmelen .

Forsøk og beskrivelse

3. januar 1851 utførte den franske fysikeren Léon Foucault et eksperiment i kjelleren i huset sitt der han fikk en to meter lang pendel til å svinge seg nær bakken og presist markerte stien. Han observerte at pendulets svingningsplan snudde sakte. Tyngdekraften, som bare virker vertikalt, kunne ikke forårsake denne rotasjonen, og ingen annen ytre kraft virket på pendelen. Så det var ikke pendelen, men bakken ( jorden ) som endret retning. Strengt tatt beskriver pendelen en smal rosettbane (se tilstøtende figur), med hvilken pendulets svingningsplan roterer sakte i forhold til bakken.

3. februar 1851 gjennomførte Foucault eksperimentet i Paris observatorium med en 12 meter lang pendel. 26. mars 1851 presenterte han den for publikum i Panthéon med en 67 meter lang pendel og en pendellegeme som veide 28 kilo. I den nedre enden av pendelhuset var det et punkt som markerte et spor i et sandlag på gulvet med hver svingning. Dette var et oppsiktsvekkende bevis på jordens rotasjon som var egnet for lekfolk. Den italienske fysikeren Vincenzo Viviani gjorde lignende observasjoner allerede i 1661 , men han forbinder dem ennå ikke med jordens rotasjon.

Forsøkene ble gjentatt av Caspar Garthe i Kölnerdomen og Friedrich Magnus Schwerd i Speyer katedral , men med resultater som ikke var kvantitativt tilfredsstillende. Heike Kamerlingh Onnes utførte mer presise målinger som en del av avhandlingen sin fra 1879 og påpekte feilkildene som hadde forstyrret Köln og Speyer. Foucault-pendler henger fortsatt i forskjellige naturvitenskapelige museer i dag . Jernkulen til den opprinnelige pendelen ble oppbevart i Conservatoire National des Arts et Métiers til 1946 og returnerte deretter til Panthéon.

Suspensjonen av pendelen kan være elastisk, kardan eller stiv. Den må ikke overføre noe dreiemoment til pendelen over gjennomsnittet av en svingning for ikke å skjule effekten.

Forklaring

Den fysiske forklaring er at hovedeffekten av rotasjonen av jorden, er at jordens roterer under planet for svingning av pendelen, mens planet for svingningen i seg selv forblir uendret. Dette er lettest å se på nord- eller sørpolen , fordi pendelens opphengspunkt forblir i ro der til tross for jordens rotasjon. Derfor ville jorden snu seg under pendelen nøyaktig en gang på en siderisk dag . (De fire minutters forskjellen til den nøyaktig 24-timers solfylte dagen skyldes at solen beveger seg videre på stjernehimmelen.) Rotasjonen som observeres på pendelen er i motsetning til jordens rotasjonsretning, dvs. med urviseren på nordpolen. og venstre på sørpolen. På ekvator derimot, roterer ikke pendulets svingningsplan i det hele tatt i forhold til bakken. Jo nærmere polene kommer, desto sterkere blir rotasjonen.

Fra synspunktet til en observatør som anser jorden som i ro, roterer pendelplanet på den beskrevne måten. I hans referansesystem skyldes dette en treghetskraft som virker i tillegg til tyngdekraften . Dette er Coriolis-kraften , som i forhold til det jordfaste referansesystemet alltid virker på den på tvers av pendellegemets bevegelsesretning og avbøyer den til høyre på den nordlige halvkule og til venstre på den sørlige halvkule . Som et resultat roterer vibrasjonsplanet rundt vertikalen gjennom opphengspunktet.

Den vinkelhastighet av denne rotasjon er konstant. Det utgjør

${\ displaystyle \ omega _ {\ text {Coriolis}} = \ Omega \, \ sin (\ varphi)}$,

der er vinkelhastigheten til jorden og den breddegrad av opphengningspunktet. I Tyskland tar en full rotasjon mellom 29,3 timer (i Flensburg) og 32,2 timer (i München). Ved ekvator ( ) roterer ikke svingningsplanet i det hele tatt. ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi = 0}$

Derivasjon av rotasjonsbevegelsen til pendelplanet

Koordinatsystem brukt til beregningen

Banekurve for en Foucault-pendel med jordens rotasjon 1000 ganger raskere

Tenk på en matematisk pendel på et sted på den nordlige halvkule med geografisk breddegrad . Et koordinatsystem med fast jord er innrettet på en slik måte at det ved bunnen av pendelen peker mot øst, mot nord og til senit. Lengden på denne pendelen skal være mye større enn amplituden , slik at den, som en god tilnærming, gjelder kroppen til pendelen . Pendellegemet forblir således i xy-planet og opplever gjenopprettingskraften i en harmonisk tilnærming (på grunn av tyngdekraftens akselerasjon ) ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle x, \, y, \, z}$${\ displaystyle {\ hat {e}} _ {x}}$${\ displaystyle {\ hat {e}} _ {y}}$${\ displaystyle {\ hat {e}} _ {z}}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle z = 0}$ ${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {r} = - m \, {\ frac {g} {l}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ 0 \ end {pmatrix}}}$.

Hvis xy-planet representerte et treghetssystem, ville pendelen utføres i det med en frekvens av planharmoniske svingninger (se det aktuelle avsnittet i sfærisk pendel ). Avhengig av starttilstanden, vil dette være en lineær svingning gjennom basispunktet eller en ellipse eller en sirkel rundt basispunktet, hvor banen ikke endres på xy-planet. ${\ displaystyle \ textstyle \ omega _ {0} = {\ sqrt {g / l}}}$

Det jordfiksede xyz-koordinatsystemet er ikke et treghetssystem; jorden roterer med vinkelhastighet . (Effektene på grunn av månens og solens tiltrekning kan neglisjeres fullstendig.) Rotasjonsaksen går gjennom polene ( ved begge polene), som er størrelsen på vinkelhastigheten . For å beregne bevegelsen i det ko-roterende xyz-referansesystemet, må sentrifugalkraften derfor legges til den lineære gjenopprettingskraften${\ displaystyle {\ vec {\ Omega}}}$${\ displaystyle \ varphi = + 90 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle \ Omega = 360 ^ {\ circ} / {\ text {Sidereal day}} = 2 \ pi / {(86164 \, \ mathrm {s}) \ ca 7 {,} 3 \ cdot 10 ^ {- 5} \, \ mathrm {s} ^ {- 1}}}$

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ text {Zf}} = - m \, {\ vec {\ Omega}} \ times ({\ vec {\ Omega}} \ times {\ vec {R} })}$

og Coriolis-styrken

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ text {Cor}} = - 2m \, {\ vec {\ Omega}} \ times {\ vec {v}}}$

legge til. ( er posisjonsvektoren til punktet (x, y, z), hvis opprinnelsen er i midten av jorden, er hastigheten i det jordfaste xyz-referansesystemet). ${\ displaystyle {\ vec {R}}}$${\ displaystyle {\ vec {v}}}$

Den eneste praktisk observerbare endringen skyldes at hele kurvekurven roterer rundt den vertikale z-aksen med vinkelhastigheten i svingningsplanet. I et referansesystem som roterer med samme vinkelhastighet sammenlignet med det jordfaste systemet, opprettholder pendelen retningen på banen, dvs. det vil si at den oppfører seg som i en treghetsramme. Dette er lettest å se for en pendel hvis hvileposisjon er Nordpolen. Der roterer jorden ganske enkelt (mot klokken) vekk fra under pendelen, noe som ikke har noen innvirkning på pendelbevegelsen. (Det samme gjelder sørpolen, men her med urviseren, fordi du må bruke den geografiske breddegraden som en variabel for på den sørlige halvkule i alle formler .) ${\ displaystyle - \ Omega \ sin (\ varphi)}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle - \ varphi}$

For å gjøre dette forståelig, vær oppmerksom på at vinkelhastigheten er en vektor og derfor kan brytes ned i komponenter (se figur):

${\ displaystyle {\ vec {\ Omega}} = \ Omega _ {z} \, {\ hat {e}} _ {z} + \ Omega _ {y} \, {\ hat {e}} _ {y } = {\ begin {pmatrix} 0 \\\ Omega _ {y} \\\ Omega _ {z} \ end {pmatrix}}}$

med og . ${\ displaystyle \ Omega _ {z} = \ Omega \ sin (\ varphi)}$${\ displaystyle \ Omega _ {y} = \ Omega \ cos (\ varphi)}$

For Coriolis-kraften, som er lineær , kan effekten av begge komponentene vurderes separat. Coriolis-kraften på grunn av handlinger vinkelrett på z-aksen, dvs. vinkelrett på svingningsplanet. Det forårsaker bare den observerte rotasjonen av banen. Coriolis-kraften på grunn av har bare en ubetydelig effekt, fordi den er vertikal mot xy-planet som kroppen er bundet til, og størrelsen er minst en faktor mindre enn den vertikale tyngdekraften. (Størrelsesrekkefølgen skyldes maksimal hastighet for forholdene i eksisterende Foucault-pendler.) ${\ displaystyle {\ vec {\ Omega}}}$${\ displaystyle \ Omega _ {z}}$${\ displaystyle \ Omega _ {y}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Omega / \ omega _ {0} \ cdot A / l \ ca 10 ^ {- 6}}$${\ displaystyle v _ {\ mathrm {max}} = A \ omega _ {0}}$

Sentrifugalkraften, derimot, avhenger av kvadratet av . Den statiske effekten av sentrifugalkraften fører til et avvik på jorden fra den sfæriske formen ( flatning av jorden 21 km) og til en endring i retning og styrke av akselerasjonen forårsaket av tyngdekraften; disse påvirkningene er allerede i stor grad tatt i betraktning i form av de målte verdiene for parametrene . En annen innflytelse på oscillasjonsperioden og på pendelens bane er ubetydelig, fordi sentrifugalkraften på grunn av den kvadratiske avhengigheten i det minste er en faktor svakere enn gjenopprettingskraften . Etter at dette ble bekreftet av eksakte beregninger på 1800-tallet, blir sentrifugalkraften og andre vilkår i størrelsesorden konsekvent neglisjert i denne sammenhengen.${\ displaystyle {\ vec {\ Omega}}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ textstyle \ Omega ^ {2} / \ omega _ {0} ^ {2} \ ca 10 ^ {- 8}}$${\ displaystyle \ Omega ^ {2} / \ omega _ {0} ^ {2}}$

Beregning av ligningene til banen

Med den ovennevnte berettigede forsømmelsen av sentrifugalkraften og komponenten av Coriolis-kraften forårsaket av den , lyder bevegelsesligningen til pendelmassen i xy-planet: ${\ displaystyle \ Omega _ {y} = \ Omega \ cos (\ varphi)}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ ddot {x}} \\ {\ ddot {y}} \ end {pmatrix}} = 2 \ Omega _ {z} {\ begin {pmatrix} {\ dot {y }} \\ - {\ dot {x}} \ end {pmatrix}} - \ omega _ {0} ^ {2} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}}}$

Dette er to sammenkoblede ordinære differensiallikninger av andre rekkefølge. De blir en enkelt differensialligning av den komplekse variabelen for enkel løsning

${\ displaystyle u (t) = x (t) + \ mathrm {i} \, y (t)}$

oppsummert:

${\ displaystyle {\ ddot {u}} = - 2 \ mathrm {i} \ Omega _ {z} {\ dot {u}} - \ omega _ {0} ^ {2} u}$

Dette har form av en harmonisk svingningsligning med en imaginær demper og kan løses direkte med metodene kjent derfra. Her er det imidlertid lærerikt, basert på hensynene presentert ovenfor, å uttrykke bevegelsen i et koordinatsystem som roterer med vinkelhastigheten i forhold til xy-systemet . Dette gjøres gjennom en variabel transformasjon ${\ displaystyle - \ Omega _ {z}}$

${\ displaystyle u (t) = \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} \ Omega _ {z} t} U (t)}$,

fordi de virkelige og imaginære delene av danner et XY-koordinatsystem, som roterer i forhold til xy-koordinatsystemet med vinkelhastigheten i svingningsplanet. Å erstatte for gir faktisk den enklere differensialligningen ${\ displaystyle U (t) = X (t) + \ mathrm {i} \, Y (t)}$${\ displaystyle - \ Omega _ {z}}$${\ displaystyle U (t)}$

${\ displaystyle {\ ddot {U}} = - (\ omega _ {0} ^ {2} + \ Omega _ {z} ^ {2}) U}$.

Det er ligningen for en stasjonær, ikke-dempet harmonisk svingning, men med frekvensen

${\ displaystyle \ omega '= \ omega _ {0} {\ sqrt {1 + {\ frac {\ Omega _ {z} ^ {2}} {\ omega _ {0} ^ {2}}}}} \ omtrent \ omega _ {0}}$.

Følgelig beskriver koordinatene bevegelsen som en sfærisk pendel ville utføre i treghetssystemet (se harmonisk oscillator # todimensjonal oscillator ). Begrepet størrelsesorden neglisjeres konsekvent i behandlingen av Coriolis-styrken så vel som i behandlingen av sentrifugalkraften. Faktisk avbryter begge bidrag omtrent hverandre, siden de kommer inn med motsatt tegn. Den uforstyrrede svingningen av pendelen med den uforstyrrede frekvensen er modulert i kompleks notasjon, så en tilleggsfunksjon , som betyr en jevn rotasjon rundt z-aksen. ${\ displaystyle X (t), \, Y (t)}$${\ displaystyle \ Omega _ {z} ^ {2} / \ omega _ {0} ^ {2}}$${\ displaystyle \ omega _ {0}}$${\ displaystyle e ^ {\ pm \ mathrm {i} \ Omega _ {z} t}}$

For en annen kort løsning i polare koordinater se f.eks. B. Edel.

I praksis settes ofte starttilstanden i det faste xy-systemet på en slik måte at pendelen frigjøres i en startposisjon med en starthastighet på null . Da blir løsningene for bevegelsen, igjen uttrykt i de jordfaste xy-koordinatene: ${\ displaystyle x_ {0}, y_ {0}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} x (t) & = x_ {0} \ cos (\ omega _ {0} t) \ cos (\ Omega _ {z} t) + x_ {0} {\ frac { \ Omega _ {z}} {\ omega _ {0}}} \ sin (\ omega _ {0} t) \ sin (\ Omega _ {z} t) + y_ {0} \ cos (\ omega _ { 0} t) \ sin (\ Omega _ {z} t) -y_ {0} {\ frac {\ Omega _ {z}} {\ omega _ {0}}} \ sin (\ omega _ {0} t ) \ cos (\ Omega _ {z} t) \\ y (t) & = - x_ {0} \ cos (\ omega _ {0} t) \ sin (\ Omega _ {z} t) + x_ { 0} {\ frac {\ Omega _ {z}} {\ omega _ {0}}} \ sin (\ omega _ {0} t) \ cos (\ Omega _ {z} t) + y_ {0} \ cos (\ omega _ {0} t) \ cos (\ Omega _ {z} t) + y_ {0} {\ frac {\ Omega _ {z}} {\ omega _ {0}}} \ sin (\ omega _ {0} t) \ sin (\ Omega _ {z} t) \ end {align}}}$

I stedet for bevegelsesligningen gitt ovenfor, oppfyller banen en lignende ligning der avbøyningskoeffisienten erstattes av . Siden disse koeffisientene bare skiller seg etter størrelsesorden , er avviket irrelevant for størrelsesverdiene som skal måles. ${\ displaystyle - \ omega _ {0} ^ {2}}$${\ displaystyle - (\ omega _ {0} ^ {2} - \ Omega _ {z} ^ {2})}$${\ displaystyle 10 ^ {- 8}}$

Nøyaktig den samme banen oppnås hvis man bruker et koordinatsystem som roterer rundt sin akse med vinkelhastigheten sammenlignet med det jordfiksede systemet (se grafikk ovenfor), som et treghetssystem, for tilnærmingens skyld. Den enkle treghetsfrie differensialligningen til en harmonisk oscillator gjelder her. Dens løsningsbaner er ellipser med begrensende tilfeller av en sirkel eller en rett linje. Jordens rotasjon er ikke merkbar i systemet. Rotasjonelt transformert til det jordfaste systemet transformeres løsningskurven til banen til Foucaults pendel gitt ovenfor. Den roterende referanserammen er ikke en treghetsramme. Den er ikke festet til stjernene, men er tilstrekkelig for beregningen av Foucaults pendel som en tilnærming for et treghetssystem. ${\ displaystyle xyz}$${\ displaystyle - \ Omega \ sin \ Phi}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle xyz}$

For å representere denne bevegelsen til pendellegemet, anbefales notasjonen i plane polare koordinater . Det gjelder da avstanden fra hvilestillingen ${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle \ rho ^ {2} (t) = x ^ {2} (t) + y ^ {2} (t) = \ rho _ {0} ^ {2} \ left (\ cos ^ {2} (\ omega _ {0} t) + {\ frac {\ Omega _ {z} ^ {2}} {\ omega _ {0} ^ {2}}} \ sin ^ {2} (\ omega _ {0 } t) \ høyre)}$.

To egenskaper blir tydelige i dette: For resultater i den opprinnelige harmoniske svingningen i treghetssystemet. Det stemmer ved ekvator. For det andre viser det seg at Foucault-pendelen, frigitt fra et startpunkt på avstand, følger en rosettbane. Stien fører ikke nøyaktig gjennom opprinnelsen, men nærmer seg den opp til en brøkdel . Det faktum at i dette tilfellet pendelen ikke går nøyaktig gjennom hvilestillingen, fører på grunn av anharmonisiteten til det sfæriske pendelen til en korrupsjon av rotasjonen av svingningsplanet med en brøkdel , og det er derfor overdreven svingningsamplituder må unngås .${\ displaystyle \ Omega _ {z} = 0}$${\ displaystyle \ rho _ {0}}$${\ displaystyle {\ tfrac {\ rho _ {\ text {min}}} {\ rho _ {0}}} = {\ tfrac {\ Omega _ {z}} {\ omega _ {0}}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {\ Delta \ Omega} {\ Omega _ {z}}} = - {\ tfrac {3} {8}} {\ tfrac {\ rho _ {0} ^ {2}} {l ^ {2}}}}$

Seks identiske Foucault-pendler i 6 timer

Rotasjonen av apsidalinjen i bane per svingning kan gå gjennom

${\ displaystyle \ Delta \ phi = \ arctan \ left ({\ frac {y \ left ({\ tfrac {2 \ pi} {\ omega _ {0}}} \ right)} {x \ left ({\ tfrac {2 \ pi} {\ omega _ {0}}} \ høyre)}} høyre) - \ arctan \ venstre ({\ frac {y_ {0}} {x_ {0}}} \ høyre) = - 2 \ pi {\ frac {\ Omega _ {z}} {\ omega _ {0}}}}$

beregnes. På den nordlige halvkule roterer Focault's pendel (faktisk det omtrentlige svingningsplanet; sett ovenfra) altså med klokken, på den sørlige halvkule mot klokken (se animasjon til høyre). En fullstendig rotasjon av Foucaults pendel tar tid

${\ displaystyle T = {\ frac {2 \ pi} {\ Omega \, \ sin \ varphi}}}$.

I Tyskland roterer vibrasjonsnivået rundt i timen . ${\ displaystyle 11 {,} 5 ^ {\ circ}}$

galleri

• 

  Pendel i orangeriet i Kassel

• 

  Pendel ved Universitetet i Koblenz

• 

  Pendel i Deutsches Museum, München

litteratur

• Foucaults pendeleksperiment. I: Ágoston Budó: Teoretisk mekanikk. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1967, s. 122–126.
• Reiner M. Dreizler, Cora S. Lüdde: Teoretisk fysikk. Volum 1: Teoretisk mekanikk. Springer, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-70558-1 , s. 311 ff.
• William Duncan MacMillan: På Foucaults pendel . I: American Journal of Mathematics . teip 37 , nr. 1 , 1915, s. 95-106 , doi : 10.2307 / 2370259 , JSTOR : 2370259 . 
• Michael Hagner : Foucaults pendel og oss. I anledning en installasjon av Gerhard Richter. König, Köln 2021, ISBN 978-3-96098-349-1 .

weblenker

• Teknisk beskrivelse av pendelen på nettstedet til Universitetet i München (med webkamera)
• The Foucault Pendulum (1985) - film fra samlingen av Federal Institute for Scientific Film (ÖWF) i nettarkivet til det østerrikske mediebiblioteket

tillegg

1. ↑ I animasjonen roterer jorden omtrent 5000 ganger raskere enn i virkeligheten. Opprinnelig tilstand: Pendelen starter ved maksimal nedbøyning uten en starthastighet i forhold til jorden. Den ellers ofte viste rosettbanen oppstår når pendelen i hvile skyves ut av hvilestillingen.
2. ↑ Pendel lengde: 50 m, plassering: nordlig bredde, jordens rotasjon 1000 ganger raskere enn ekte. Med den virkelige verdien vil kurven fremstå som et fylt sirkulært område fordi svingningslinjene overlapper hverandre. Tidlig utslett:, innledende hastighet . Denne verdien lar pendelen passere opprinnelsen. : Størrelse på vinkelhastigheten til jordens rotasjon : normal koordinat for vinkelhastighetsvektoren til jordens rotasjon på Pendelort presentasjonstid: Kvartal Svingeplanets rotasjon Kurven er løsningen på differensialligninger fra. : kvadratisk naturlig vinkelfrekvens av pendelen : mengde akselerasjon på grunn av tyngdekraften${\ displaystyle \ varphi = 50 ^ {\ circ}}$
   ${\ displaystyle y_ {0} = 1 {\ text {m}}}$${\ displaystyle {\ dot {x}} _ {0} = \ Omega _ {z} y_ {0}}$
   ${\ displaystyle \ Omega}$
   ${\ displaystyle \ Omega _ {z} = \ Omega \ sin (\ varphi)}$
   
   
   ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ ddot {x}} \\ {\ ddot {y}} \ end {pmatrix}} = 2 \ Omega _ {z} {\ begin {pmatrix} {\ dot {y }} \\ - {\ dot {x}} \ end {pmatrix}} - \ omega _ {0} ^ {2} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}}}$
   ${\ displaystyle \ omega _ {0} ^ {2} = g / L}$
   ${\ displaystyle g}$
3. ↑ Oppsett ved 90 ° N, 50 ° N, 30 ° N, 15 ° N, 0 ° og 15 ° S. Representasjon av jordens rotasjon i det stjernefaste systemet. Forholdet mellom pendelsvingningsperioden og varigheten av jordens bane (siderisk dag) er i virkeligheten mye mindre. Opprinnelig tilstand: Alle pendler starter samtidig fra en maksimal parallell nedbøyning mot øst uten starthastighet.

Individuelle bevis

1. ↑ Heike Kamerlingh Onnes: Nieuwe Bewijzen voor de aswenteling den aarde . Wolters, Groningen 1879, s. 1–312 (nederlandsk, gdz.sub.uni-goettingen.de [åpnet 16. mars 2018] Tittel på tysk: “Nytt bevis for jordens akse-rotasjon”). 
2. ^ History of the Pantheon Paris. I: pantheonparis.com. Hentet 17. oktober 2018 . 
3. ↑ ^{a b} A. Budo: Teoretisk mekanikk . 4. utgave. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1967, § 24 Bevegelser på den roterende jorden, s. 119 . 
4. ↑ P. Furtwängler: Mekanikk for fysiske apparater. I: F. Klein, C. Müller (red.): Encyclopedia of Mathematical Sciences. Vol. IV.2, Teubner, Leipzig 1904.
5. ^ William J. Noble: En direkte behandling av Foucault-pendelen . I: American Journal of Physics . Nei. 20 , 1952, s. 334–336 (engelsk, edu.tw [PDF]). 
6. ↑ TJ I'A. Bromwich: On Theory of Foucaults Pendulum, and of the Gyrostatic Pendulum . I: Proceedings of the London Mathematical Society . s2-13, nei. 1 , 1914, s. 222-235 (engelsk, wiley.com ). 
7. ↑ WS Kimball: The Foucault Pendulum Star Path and the n- Leaved Rose . I: American Journal of Physics . teip 13 , nr. 5 , 1945, s. 271-277 , doi : 10.1119 / 1.1990726 (engelsk). 
8. ↑ Roland Szostak: En permanent svingende Foucault-pendel for skoler . I: PLUS LUCIS 2 / 2002-1 / 2003 . Matematikk og naturfagstimer. S. 11–15 ( online [PDF; 160 kB ]).