Disquisitiones Arithmeticae

Tittelside til første utgave

The Disquisitiones Arithmeticae (latin for tallteoretiske undersøkelser ) er en lærebok om tallteori ("Higher Arithmetic" med Gauss 'ord) som den tyske matematikeren Carl Friedrich Gauß skrev i 1798 bare 21 år gammel og som ble publisert 29. september. , 1801 i Leipzig. I dette arbeidet skapte Gauss, med ordene til Felix Klein, "i sann forstand av ordet moderne tallteori og har bestemt hele den følgende utviklingen frem til i dag". Han presenterer tidligere resultater av Pierre de Fermat , Leonhard Euler , Joseph Louis Lagrange og Adrien-Marie Legendre (forfatterne som Gauß selv eksplisitt nevner i forordet ved siden av Diophantus ) samt mange egne funn og utvikling på en systematisk måte. er som et av de siste store matematiske verkene skrevet på latin. Elementær tallteori (kapittel 1 til 3) blir behandlet og grunnlaget for algebraisk tallteori legges. Boken er skrevet i den klassiske setningssikre-følelsesstil, inneholder ingen motivasjon for bevislinjene som tas og skjuler nøye måten Gauss kom til sine oppdagelser. Gaußs arbeid ble bare tilgjengelig for andre matematiske sirkler gjennom forelesningene til Peter Gustav Lejeune Dirichlet .

Forsinkelsen i utskriften, som begynte i 1798, ble blant annet forårsaket av problemer med boktrykkerne som måtte sette det vanskelige arbeidet. Likevel måtte korrigerende sider settes inn igjen i originalen. De første fire kapitlene dateres fra 1796 og var i det vesentlige i sin endelige form på slutten av 1797, da Gauss fortsatt var i Göttingen. Den første versjonen av det sentrale kapittelet 5 er fra sommeren 1796, men ble omarbeidet flere ganger frem til begynnelsen av 1800. Fra høsten 1798 var Gauß tilbake i Braunschweig, hvor han bodde til 1807.

Innvielsen til hans skytshelgen, hertugen av Braunschweig , er datert juli 1801. Hertugen gjorde utskriften mulig i utgangspunktet.

innholdet

• Kapittel 1 (fem sider) tar for seg kongruensregning (modulærregning) og delbarhetsregler.
• Kapittel 2 (24 sider) gir den entydige primfaktoriseringen og løsningen av lineære ligninger i modulær aritmetikk (kalt for kort ”mod n”).
• Kapittel 3 (35 sider) dekker krefter mod n inkludert begrepet primitiv rot og indeksen (analogen til logaritmen i modulær aritmetikk). Her finner du den “ lille Fermatsche-setningen ”, Wilsons teorem og kriterier for kvadratiske rester.
• Kapittel 4 (47 sider) tar for seg hans "fundamentale teorem" om aritmetikk, den kvadratiske gjensidighetsloven , det vil si spørsmålet om å løse kvadratiske ligninger i kongruensaritmetikk. Beviset er tungvint på grunn av mange saksforskjeller, men holdes "elementært" og er allerede kunngjort i sin dagbok fra 1796. Peter Gustav Lejeune Dirichlet forenklet beviset i 1857 ved hjelp av Jacobi-symbolet . Gauss bruker ikke Legendres notasjon for Legendre-symbolet , men heller aRb hvis a er en kvadratisk rest av b og aNb hvis ikke. Den kvadratiske gjensidighetsloven var utgangspunktet for Gauss tallteoretiske arbeid, slik han skrev i forordet.
• Kapittel 5 (med 260 sider nesten halvparten av boka) tar for seg tallteorien for binære kvadratiske former (i to variabler), som Lagrange allerede har behandlet. Ekvivalensklasser av firkantede former introduseres og reduserte former som tilhører en klasse, så vel som tallene som kan uttrykkes av former av en bestemt klasse, karakteriseres. I tillegg definerer han orden, kjønn og karakter i en klasse. Høydepunktet er hans teori om sammensetningen av firkantede former.

I avsnitt 262 er det et nytt bevis på den kvadratiske gjensidighetsloven fra teorien om kvadratiske former, som Gauss ga flere flere bevis for i løpet av livet. Dette beviset blir også kunngjort i hans dagbok fra 1796. Det er også en teori om ternære kvadratiske former (i tre variabler). I avsnitt 303 er beregningene hans over - i dagens formulering - klassetallene på felt med imaginært kvadrat . Spesielt lister Gauss opp alle slike tallfelt med 1, 2 og 3 klasser. Han lister opp ni imaginære firkantede tallfelt spesielt for klasse nummer 1 og antar at alle disse er: Tall for skjemaet   ( helhet ) med Dette er utgangspunktet for undersøkelser av "klassetallproblemet", som i tilfelle klasse nummer 1 av Kurt Heegner , Harold Stark , ble Alan Baker løst og kom generelt til en viss konklusjon på 1980-tallet gjennom Don Zagier og Benedict Gross . Avsnitt 293 gir løsninger på Fermats polygonale tallproblem for firkanter (som Lagrange allerede løste) og kuber. Gauss-summer vises for første gang i avsnitt 356 . En setning i avsnitt 358 ble senere anerkjent av André Weil som et spesielt tilfelle av Riemann-hypotesen for kurver over endelige felt (se Weil-antagelser ). For en annen elliptisk kurve satte Gauß opp en setning som tilsvarer Riemann-formodningen i den siste posten i dagboken sin (bevist av Gustav Herglotz 1921).${\ displaystyle a + b {\ sqrt {n}}}$${\ displaystyle a, b}$ ${\ displaystyle n = -1, -2, -3, -7, -11, -19, -43, -67, -163.}$

• Kapittel 6 omhandler blant annet fortsatte brøker . Det er også to forskjellige primalitetstester her .
• Kapittel 7 omhandler læren om sirkeldeling. Her er beviset på at et hjørne kan konstrueres med et kompass og linjal hvis det er et Fermat primtall (eksplisitt for det 17. hjørnet). Men det gir ingen bevis for at andre konstruksjoner ikke er mulige for konstruksjonen (dette ble gjort av Pierre Wantzel ). Han foreslår også en generalisering om delingen av lemnikatet .${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Mange av setningene er allerede i Legendres tallteori, som dukket opp nesten samtidig, men de ble funnet uavhengig av Gauss, da han først ble kjent med Legendres bok da en stor del av hans Disquisitiones allerede var på skriveren (som Gauss i forordet hans). Det var også en forbitring over Legendre, som så seg ikke nok verdsatt av Gauss og klaget til ham om det. Legendres bok ble senere fullstendig overskygget av Gauss 'Disquisitiones. Gauss planla å fortsette Disquisitiones, men det skjedde aldri. Materiell om dette ble for eksempel publisert i hans avhandlinger om tosidige rester (1825, 1831), der han introduserte gaussiske tall . Et “åttende kapittel” av Disquisitiones ble oppdaget i boet ( Analysis Residuorum ) og publisert i andre bind av den komplette utgaven. I følge Gauss i forordet til Disquisitiones , hvor han også flere ganger henviste til dette åttende kapittelet, skulle det behandle generelt ubestemte ligninger i modulær aritmetikk.

Mange dype bemerkninger fra Gauss (som den på lemniskatet , utgangspunktet for teorien om kompleks multiplikasjon i algebraisk tallteori) stimulerte matematikere som Augustin-Louis Cauchy (som fullstendig løste Fermats polygonale tallproblem i 1815), Gotthold Eisenstein , Carl Gustav Jacobi , Ernst Eduard Kummer , Dirichlet (som alltid hadde en kopi av Disquisitiones like ved hånden på skrivebordet), Charles Hermite , Hermann Minkowski , David Hilbert og til og med André Weil for videre undersøkelser. Et annet eksempel er utvidelsen av lovene om sammensetning av firkantede former til å omfatte høyere lover for sammensetning av Manjul Bhargava fra 2004.

utgifter

• Originalutgaven ble utgitt av Gerhard Fleischer, Lipsiae (Leipzig) 1801 (668 sider, oktavformat). Et første opptrykk dukket opp som første bind av den komplette utgaven av Carl Friedrich Gauß: Works. Volum 1 , Dieterich, Göttingen 1863, dens andre opptrykk 1870 (i internettarkivet: [2] ), utgitt av Royal Society of Sciences i Göttingen av Ernst Schering . En faksimileutgave ble utgitt i Brussel i 1968 (Culture et civilisation), et opptrykk i 2006 av Olms i Hildesheim, red. Jochen Brüning, med et forord av Norbert Schappacher , ISBN 3-487-12845-4 .
• Carl Friedrich Gauss 'studier om høyere aritmetikk , redigert av Hermann Maser, Julius Springer, Berlin 1889 (tysk oversettelse; i internettarkivet: [3] ), studerer også om høyere aritmetikk . AMS Chelsea Publications 2006, 695 sider, ISBN 0-8218-4213-7 (sammen med andre verk av Gauss); boka ble omtrykket av Verlag Kessel i 2009: ISBN 978-3-941300-09-5
• Disquisitiones arithmeticae , Yale University Press, 1966, opptrykk Springer-Verlag, New York Heidelberg 1986, ISBN 0-387-96254-9 (engelsk oversettelse av Arthur A. Clarke, revidert i 1986 av William C. Waterhouse)
• Recherches arithmétiques , Courcier, Paris 1807, omtrykt av Jacques Gabay, Paris 1989 (fransk oversettelse av A.-C.-M. Poullet-Deslisle). Utgaven markerer den tidlige mottakelsen i Frankrike, og den franske utgaven ble også brukt av mange lesere i Tyskland som erstatning for den sjeldne første latinske utgaven.
• Gausu Seisuron . Asakura Publishing Co., Ltd., Tokyo, Japan 1995, ISBN 4-254-11457-5 ( online - japansk:ガ ウ ス 整数 論. Oversatt av Masahito Takase). 
• det er også russiske (Demjanov-oversettelse, Moskva 1959), spanske (1995) og katalanske (1996) utgaver.

Sekundær litteratur

• David A. Cox , Formens primer , Wiley, 1989${\ displaystyle x ^ {2} + ny ^ {2}}$
• Jay Goldman: The Queen of Mathematics: A Historically Motivated Guide to Number Theory. AK Peters 1997, ISBN 1-56881-006-7 .
• Catherine Goldstein , Norbert Schappacher , Joachim Schwermer (redaktører): The Shaping of Arithmetic after CF Gauss's Disquisitiones Arithmeticae. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2007.
• Harold M. Edwards : Composition of Binary Quadratic Forms and the Foundations of Mathematics ( PDF- fil; med liste over utgaver og oversettelser av Disquisitiones; 340 kB), i: The Shaping of Arithmetic after CF Gauss's Disquisitiones Arithmeticae , s. 129–144
• Walter Kaufmann-Bühler: Gauss: En biografisk studie . Springer-Verlag 1981, kapittel 3, ISBN 0-387-10662-6 .
• Uta Merzbach En tidlig versjon av Gauss` Disquisitions Arithmeticae , i JW Dauben Mathematical Perspectives. Essays om matematikk i sin historiske utvikling , Academic Press 1981, s. 167-178
• Olaf Neumann : Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones Arithmeticae (1801) i Ivor Grattan-Guinness Landmark skrifter i vestlig matematikk 1640-1940 , Elsevier 2005, kapittel 22

weblenker

• MacTutor on the Disquisitiones med en engelsk oversettelse av dedikasjonen og forordet

hovne opp

1. ^ Felix Klein : Forelesninger om utvikling av matematikk i det 19. århundre , Julius Springer, Berlin 1926, s.26
2. ↑ Klein, lok. Cit., S. 27
3. ↑ 1837 introdusert av Jacobi men implisitt i boka av Gauß. David A. Cox , Primes of the form , Wiley, 1989, s. 64${\ displaystyle x ^ {2} + ny ^ {2}}$
4. ↑ Totalt seks vesentlige forskjellige, Gauss skiller seg ut åtte. Dette beviset på teorien om kvadratiske former er presentert i Daniel Flath, Introduction to number theory, Wiley 1989, s. 163. Flath representerer også det første beviset og ytterligere bevis for Gauss teorem.
5. ^ David A. Cox, Formens primer , Wiley, 1989, s. 86${\ displaystyle x ^ {2} + ny ^ {2}}$
6. ↑ Behandlet i Kenneth Ireland, Michael Rosen: En klassisk introduksjon til moderne tallteori, Springer, 1990, s.166
7. ^ Frans Oort : Den siste oppføringen, Notices ICCM, July 2016, pdf
8. Announced allerede kunngjort i etterretningspapiret til Allgemeine Literaturzeitung, Jena 1796
9. ^ Carl Friedrich Gauß: Fungerer. Volum 2 , Dieterich, Göttingen 1863, s. 212-240 (hos Google Books: [1] ). Samtidig er det foreløpige utkast til noen av de publiserte kapitlene i manuskriptet. De tilsvarende seksjonene er utelatt fra Volum 2 i Komplett utgave.
10. ↑ Norbert Schappacher zu Gauß, Disquisitiones, i: Michael Hagner (red.), Klassiker der Naturwissenschaften, Kindler Kompakt, JB Metzler, 2016, s. 93/94