Digitalt filter

Et digitalt filter er et matematisk filter for å manipulere et signal som å blokkere eller la et bestemt frekvensområde gå gjennom. Forskjellen til det analoge filteret ligger i implementeringen: Analoge filtre er bygget med passive elektroniske komponenter som kondensatorer , spoler , motstander eller aktivt med operasjonsforsterkere . Digitale filtre er implementert med logiske moduler som ASIC , FPGA eller i form av et sekvensielt program med en signalprosessor .

kjennetegn

Blokkstruktur for et digitalt IIR-filter

Et annet viktig trekk ved digitale filtre er at de ikke behandler kontinuerlige signaler, men bare signaler med diskrete tider og verdier. I den periodiske sekvensen består et tidsdiskret signal bare av individuelle pulser, som representerer signalkurven over tid, de respektive prøveverdiene . Eksempelverdien er diskret i verdi , siden den digitale representasjonen av tall bare gir en endelig oppløsning.

Filteroppførselen til digitale filtre er lettere å reprodusere. Visse typer filtre, som de såkalte FIR-filtrene, kan bare implementeres som digitale filtre og ikke som en analog filterkrets. Digitale filtre i kombinasjon med analoge-til-digitale omformere og digital-til-analoge omformere erstatter også i økende grad filterstrukturer som tidligere ble implementert i ren analog form. Digitale filtre representerer grunnlaget for digital signalbehandling og brukes for eksempel i kommunikasjonsteknologi .

Kontinuerlige filteroverføringsfunksjoner og analoge filtre dannet fra dem, for eksempel Butterworth-filtre , Bessel-filtre , Chebyshev-filtre eller elliptiske filtre, kan simuleres etter å ha tilpasset filteroverføringsfunksjonen til det endelige, diskrete spekteret i form av digitale IIR-filtre med passende valgt filterkoeffisienter.

Matematisk definisjon

Et abstrakt digitalt filter er en operatør som tildeler tidsdiskrete digitale signaler til det samme. For å gjøre det lettere for beskrivelsen antas det ofte at signalet har reelle tall som verdier; Det vil si at kvantiseringen av prøvene (dvs. avrundingen til en av de endelig mange verdiene av bitrepresentasjonen) av det digitale signalet ikke blir tatt i betraktning. Et tidsseparert signal x er et kart som representerer hvert punkt i det diskrete, like store settet

{\ displaystyle \ Gamma = \ {t_ {n}: = t_ {0} + n \ Delta t, n \ i \ mathbb {Z} \}}

tildeler et nummer. Det kan også på grunn av dets funksjonelle verdier

{\ displaystyle x [n] = x_ {n}: = x (t_ {n})}

kan spesifiseres. Notasjonen med firkantede parenteser foretrekkes i informatikk fremfor den med indeks i matematikk.

Den grunnleggende funksjonaliteten til en (endelig, ikke-rekursiv) filteroperasjon er som følger: På hvert tidspunkt, eller punkt fra rutenettet, er et nabolag med nærliggende tidspunkter løst, f.eks. B. to poeng før og etter. Formen på dette miljøet er konstant over tid. Hvis miljøet bare inneholder punkter som gikk foran det i tide, kalles filteret kausal .

Nå er verdifullheten tilgjengelig i omgivelsene når som helst . Den samme funksjonen brukes alltid på denne tupelen, f.eks. B. Maksimal formasjon, middelverdidannelse, vektede middelverdier, ... Hvis denne funksjonen er lineær, kalles filteret lineært , ellers kalles det ikke-lineært.

Hvis man vurderer en familie av signaler som kommer fra hverandre på grunn av et tidsskifte og genererer familien av signalene transformert av filteret, så skiller de filtrerte signalene seg ut fra hverandre ved nøyaktig samme tidsskifte. Filteret er tidsinvariert. Signaltransformasjoner med disse egenskapene kalles også LTI-systemer referert, engelsk for L inear T ime I nvariant. Hvis man betrakter det diskrete signalet som en koeffisientsekvens for en Fourier-serieutvidelse , dvs. H. signalverdiene som Fourier-integraler , så er et LTI-system i stand til amplitudene | f (s) | av de enkelte frekvensene og å rotere den i fase arg (f (s)) sammenlignet med inngangssignalet . ${\ displaystyle \ textstyle x_ {n} = \ int _ {- 1/2} ^ {1/2} \; f (s) \ cdot e ^ {i2 \ pi sn} \, ds}$

Konvolusjonsoperatører som LTI-systemer

En konvolusjonsoperator er gitt av en sekvens f av koeffisienter, som virker på det diskrete signalet x ved konvolusjon :

{\ displaystyle x \ mapsto y: = f * x \ ;, \; y_ {n} = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} f_ {k} \ cdot x_ {nk}}

Denne summen er godt definert i følgende tilfeller:

x er vilkårlig og f er endelig som et resultat, slik at summen er endelig,
x er avgrenset, og f er absolutt summerbar ⇒ y er avgrenset,
x kan "summeres av kvadrater" og f har en begrenset frekvensrespons ⇒ y kan "summeres med kvadrater",
x kan legges opp absolutt og f kan legges opp absolutt ⇒ y kan legges opp absolutt

Dette betyr

x avgrenset hvis −K <x _n <K for noen K og alle n ∈ ℤ ,
x "summeres av firkanter " , hvis firkantserien konvergerer
${\ displaystyle E (x): = \ | x \ | _ {2} ^ {2}: = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | x_ {n} | ^ {2} < \ infty}$ ,
f endelig hvis det er en endelig delmengde I av ℤ slik at f _n ≠ 0 bare holder i n ∈ I ,
f kan summeres absolutt hvis beløpsserien konvergerer
${\ displaystyle \ | f \ | _ {1}: = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | f_ {n} | <\ infty}$ ,
f med begrenset frekvensrespons når Fourier-serien blir f
${\ displaystyle {\ hat {f}} (\ xi): = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} f_ {k} e ^ {- ik \ xi}}$

konvergerer nesten overalt og er (i det vesentlige) begrenset.

Som du kan se, er impulsresponsen til konvolusjonsoperatøren i alle disse tilfellene sekvensen f .

For et endelig filter kalles settet I også bæreren, forskjellen mellom start- og sluttpunktet til bæreren kalles lengden på filteret . Elementene i bæreren kalles ofte kraner , antallet deres er mer enn signalets lengde. Bare denne første, endelige saken tilsvarer den som er beskrevet i innledningen. Settet I definerer miljøet som brukes til å bestemme de filtrerte verdiene, vilkårene for f definerer en lineær funksjon av verdiene til dette miljøet.

De absolutt summerbare filtersekvensene f i det andre tilfellet har ikke bare en begrenset, men til og med en kontinuerlig frekvensrespons. Dette er amplitudeendringen for elementære vibrasjoner med at. Disse er begrensede, derfor er definert og ${\ displaystyle e (\ omega) = (e_ {n} (\ omega): n \ in \ mathbb {Z})}$ ${\ displaystyle e_ {n} (\ omega): = \ exp (i \ omega) = \ cos (n \ omega) + i \ sin (n \ omega)}$ ${\ displaystyle f * e (\ omega)}$

{\ displaystyle [f * e (\ omega)] _ {n} = \ sum f_ {k} e_ {nk} (\ omega) = e_ {n} (\ omega) \ sum f_ {k} e ^ {- ik \ omega} = {\ hat {f}} (\ omega) e_ {n} (\ omega)}

.

Ideelle frekvensselektive filtre har bare verdiene 0 og 1 i frekvensresponsen. Hoppene som oppstår kan bare tilnærmes med vanskeligheter med de konstante frekvensresponsene som er absolutt summerbare og enda verre med polynomfrekvensresponsene til endelige filtre.

For Fourier-serien , som bare eksisterer i det tredje tilfellet (som L² fungerer), gjelder forholdet:

{\ displaystyle {\ hat {y}} (\ xi) = {\ hat {f}} (\ xi) \ cdot {\ hat {x}} (\ xi)}

.

Summen av kvadratene E ( x ) er også kjent som signalets "energi". På grunn av Parseval-identiteten

{\ displaystyle \ | x \ | _ {2} ^ {2} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ | {\ hat {x}} \ | _ {2} ^ {2}: = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} | {\ hat {x}} (\ xi) | ^ {2} \, d \ xi}

en ortogonal sammenbrudd av signalet kan oppnås ved bruk av frekvensselektive filtre.

Endelige spesielle tilfeller

Dersom bæreren på filteret f endelig lengde, slik at filteret som et FIR-system er referert til, FIR for endelig pulsrespons (engelsk Finite Impulse Response ). Disse filtrene blir også referert til som ikke-rekursive eller implementerbare uten tilbakemelding .

Dersom bæreren til filteret F ikke begrenset lengde, slik at filteret som et IIR system er referert til, IIR for uendelig pulsrespons (engelsk Infinite Impulse Response ). Blant disse er det en klasse filtre f , som er betegnet som rekursive eller implementerbare med tilbakemelding, som kan representeres som kvotienten til endelige filtre, dvs. H. det er to endelige sekvenser a og b slik at a * f = b holder i konvolusjonsproduktet . Bare slike uendelige filtre kan implementeres i det hele tatt.

Fordeler og ulemper med digitale filtre

Digitale filtre spiller en viktig rolle i kommunikasjonsteknologi . Sammenlignet med analoge filtre har de den viktige fordelen at de tekniske dataene til enhver tid følges nøyaktig .

fordeler

ingen svingninger på grunn av komponentens toleranse
ingen aldring av komponentene
ingen manuell justering er nødvendig i produksjonen, derfor raskere sluttprøving av enheter
mulige filterfunksjoner som er vanskelige eller umulige å implementere med analoge filtre, for eksempel filtre med lineær fase.

Ulemper med digitale filtre

begrenset frekvensområde (på grunn av endelige samplingsfrekvenser )
begrenset verdiområde (gjennom verdikvantisering)
På grunn av intern avrunding, avkorting og begrensning av operasjoner for å begrense ordlengden, viser digitale filtre kvantiseringsstøy og andre ikke-lineære effekter i praksis, som er spesielt merkbare i rekursive filtre av høyere orden og finere kvantisering, bruk av flytende punktum, tilpasset filterstrukturer som bruk av mai krever digitale bølgefiltre .
Med ikke-elektriske inngangs- og utgangsvariabler, ekstra innsats for konverteringen.

Klassifisering av digitale filtre

Frekvens lineære filtre

Basert på strukturen kan man skille mellom to klasser av digitale filtre:

Ikke-rekursive filtre: Filtrer uten tilbakemelding
Rekursive filtre: Filtrer med tilbakemelding

Et annet skille kan gjøres basert på impulsresponsen:

FIR filter (Finite Impulse Response): Filtrer med en endelig lang impulsrespons . FIR-filtre inneholder vanligvis ingen tilbakemeldinger. Men det er også spesielle FIR-filterstrukturer med tilbakemelding, et eksempel på dette er CIC-filtre .
IIR filter (Infinite Impulse Response): Filtre med uendelig lang impulsrespons, disse har alltid tilbakemeldingsgrener.

FIR-filtre er i utgangspunktet stabile, selv de med rekursive elementer. Dette skyldes det faktum at de ikke-rekursive formene bare har nuller og trivielle poler ved opprinnelsen i overføringsfunksjonen , og de ikke-private polene til rekursive former for FIR-filteret ligger alltid på enhetssirkelen. Når det gjelder stabilitetskriteriet, er nuller ikke underlagt noen begrensninger i deres posisjon i pol-null-diagrammet . Hvis de alle er innenfor enhetssirkelen , snakker man om et minimumsfasesystem ; hvis minst en er utenfor, er det et ikke- minimumsfasesystem . Ved utforming av et FIR-filter, vindus blir brukt i de fleste tilfeller for å redusere den lekkasje-effekten .

IIR-filtre er bare stabile hvis alle polene ligger i enhetssirkelen. Hvis enkle stolper ligger på enhetssirkelen, er systemet betinget stabilt, dvs. H. avhengig av inngangssignalet. Så snart to eller flere poler er på samme punkt i enhetssirkelen eller til og med bare en pol er utenfor enhetssirkelen, er filteret ustabilt.

Fordelen med IIR-filtre er at de i overføringsfunksjonen også har poler i tillegg til nuller og dermed muliggjør høyere filterkvalitet . Beregningen av et IIR-filter er mer komplisert enn for et FIR-filter og bør også omfatte en stabilitetsstudie av de kvantiserte koeffisientene. Prony- metoden tilbyr en pålitelig metode for å bestemme koeffisientene til et IIR-filter .

I praksis utføres koeffisientbestemmelsen med programmer som MATLAB .

Frekvensforvrengte filtre

(basert på lavpas-lavpass-transformasjon )

Et skille mellom disse filtrene er ikke lenger mulig på grunnlag av impulsresponsen.

WFIR-filtre forvrengt FIR - er stabile. Disse filtrene er basert på et FIR-filter, som imidlertid er frekvensforvrengt. De har alltid en uendelig impulsrespons.
WIIR-filtre krøllet IIR - er også bare stabile hvis alle polene ligger i enhetssirkelen. De tilhører også de frekvensforvrengte filtrene. De kan ikke implementeres direkte, siden koeffisienttilordning er nødvendig for å fjerne øyeblikkelige sløyfer.

Multi-rate filter

De brukes til å konvertere mellom forskjellige samplingsfrekvenser og unngå forekomst av speilspektre eller aliasing . Eksempler på filtre med flere hastigheter er CIC-filtre .

litteratur

Karl-Dirk Kammeyer, Kristian Kroschel: Digital signalbehandling . 6. utgave. Teubner, Stuttgart 2006, ISBN 3-8351-0072-6 .

Languages