Cox-Ross-Rubinstein-modell

Den Cox-Ross-Rubinstein modellen ( CRR modell for korte , ofte også: binomisk modell ) er en diskret modell for modellering verdipapirer og kursutvikling. Flere utviklingsmuligheter postuleres for hvert tidstrinn, og hver tildeles en positiv sannsynlighet. Begrensningen til bare to utviklingsmuligheter kalles også binomialmodellen.

Binomialmodellen er en metode for å bestemme rettferdige opsjonspriser . Den duplisering prinsippet er brukt, som i sin enkleste form vurderer prisen på opsjonen når aksjekursen stiger og prisen på opsjonen når aksjekursen faller.

Anropsverdien er uavhengig av sannsynligheten for prisøkning eller -nedgang, samt uavhengig av markedsdeltakernes risikoholdning.

Binomialmodellen er enklere å bruke enn Black-Scholes-modellen . Den ble utviklet i 1979 av John C. Cox , Stephen Ross og Mark Rubinstein .

Eksempel på å bestemme en opsjonspris

For å evaluere et alternativ vurderes tilbakebetalingen i den følgende perioden først. Hvis det kjøpes en kjøpsopsjon (= såkalt lang samtale), utøves opsjonen når prisen stiger; så mottar kjøperen en tilbakebetaling (hvis det ble avtalt et kontantoppgjør) eller han mottar aksjen til tegningskursen og kan selge den til høyere pris. Hvis aksjekursen derimot har falt (under tegningskursen), lar kjøperen opsjonen løpe; han mottar da ingen returflyt.

Numerisk eksempel: En aksje koster i dag . I en periode kan hun det ${\ displaystyle S_ {0} = 10}$

• enten verdien 11 (alternativverdien er da 1)
• eller anta verdien 9 (alternativverdien er da null).

Det opprettes en portefølje (Δ lange aksjer, en kort samtale). Beløpet Δ-aksjer som porteføljen legger til samme verdi i begge opsjoner er risikofritt - uavhengig av sannsynlighet for forekomst. 1 Ring kort her betyr at en samtaleopsjon selges (forfatterposisjonen til en samtale blir inntatt).

${\ displaystyle 11 \ Delta -1 = 9 \ Delta \ quad \ Leftrightarrow \ quad 2 \ Delta = 1 \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ Delta = 1/2 \ quad \ Rightarrow}$ I begge situasjoner er porteføljeverdien på tidspunktet T 4,5.

Nåverdien av porteføljen i (forutsatt en risikofri rente på 3% og en periode på ett år) er: ${\ displaystyle t = 0}$

${\ displaystyle 4 {,} 5e ^ {- 0 {,} 03} = 4 {,} 367}$

Bestemmelse av opsjonsprisen i dag: ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle 10 \ cdot {\ frac {1} {2}} - f = 5-f {\; {\ overset {!} {=}} \;} 4 {,} 367}$

${\ displaystyle \ Rightarrow {\ text {Opsjonspris}} f = 0 {,} 633.}$

Alternativ delta

Delta-faktoren er viktig når man evaluerer og sikrer. Det er følsomheten til opsjonskursen for en endring i aksjekursen med en enhet.

Ring delta = ${\ displaystyle \ Delta _ {C} = {\ frac {C_ {u} -C_ {d}} {S_ {u} -S_ {d}}}}$

Sett delta = ${\ displaystyle \ Delta _ {P} = {\ frac {P_ {u} -P_ {d}} {S_ {u} -S_ {d}}}}$

Endring i opsjonsprisen ved å endre den underliggende aksjekursen.

Delta-faktoren til en kjøpsopsjon er positiv, delta-faktoren til en salgsopsjon er negativ. Med to-nivå binomiale trær, er deltaet spesifisert for de to tidstrinnene, med bevegelse oppover og nedover tatt i betraktning i andre gangstrinn.

Kopiering

En kjøpsopsjon (kjøpsopsjon på en aksje) kan dupliseres ved hjelp av en portefølje av aksjer og et lån (rentepapirer). Fra den arbitrasjefrie tilstanden følger det at verdien av denne porteføljen tilsvarer gjeldende opsjonsverdi. Opsjonen dupliseres som et delvis kredittfinansiert aksjekjøp.

${\ displaystyle C_ {0} = S_ {0} \ Delta _ {C} -B_ {0} \}$

${\ displaystyle B_ {0} = (S ^ {u} \ Delta -C ^ {u}) (1 + r) ^ {- T} \}$

${\ displaystyle P_ {0} = S_ {0} \ Delta _ {P} -B_ {0} \}$

${\ displaystyle B_ {0} = (S ^ {u} \ Delta + P ^ {u}) (1 + r) ^ {- T} \}$

1. ${\ displaystyle S ^ {u} \ cdot x- (1 + r) ^ {T} \ cdot y = C ^ {u}}$
2. ${\ displaystyle S ^ {d} \ cdot x- (1 + r) ^ {T} \ cdot y = C ^ {d}}$

hvor x er antall lange aksjer per samtale (tilsvarer deltaet ) og y er kredittbeløpet per samtale.

Dette er to ligninger med to ukjente. Ligning 1 minus ligning 2 gir x, som er forskjellen mellom å ringe opp og ring ned, delt på verdien av aksjen opp og verdien av aksjen ned.

Etter noen transformasjoner får vi verdien av en gjeldende europeisk samtale, som er den diskonterte forventede verdien med hensyn til pseudosannsynlighetene. Den risikofrie renten og volatiliteten brukes.

Resultatet er uavhengig av sannsynligheten for prisfall eller økning. Markedsaktørenes risikovilkår er heller ikke relevant.

En intuitiv forklaring på dette kan være at hvis S ^ u oppstår med stor sannsynlighet, vil aksjekursen i t = 0 og anropsverdien måtte være høyere.

Sikringsprinsipp

Ideen med sikringsprinsippet er å bygge en risikofri posisjon fra aksjer og en kort samtale eller lang put. Det følger av ikke-arbitrage at avkastningen på denne porteføljen må matche den risikofrie renten.

Når Hedgingprinzip resulterer i as , med en risikofri portefølje av Delta-aksjer lang og en samtale blir kort. Den nåværende verdien av denne porteføljen er produktet av deltaet og den nåværende aksjekursen minus anropskursen. Hvis du rabatterer dette beløpet, får du den fremtidige risikofrie verdien. ${\ displaystyle \ Delta _ {C}}$${\ displaystyle {\ tfrac {C ^ {u} -C ^ {d}} {S ^ {u} -S ^ {d}}}}$

${\ displaystyle \ Delta _ {P} = \ Delta _ {C} -1 \}$

Risikoenøytrale sannsynligheter

Den tredje metoden som brukes i binomialmodellen er de risikonøytrale sannsynlighetene (tilsvarende martingale tiltak ). Vurderingen gjøres som om markedsaktørene var risikonøytrale. Gjeldende aksjekurs forstås som den neddiskonterte forventede verdien av fremtidige aksjekurser.

${\ displaystyle S_ {0} = {\ frac {pS ^ {u} + (1-p) S ^ {d}} {(1 + r) ^ {T}}} \}$

• ${\ displaystyle S ^ {u} = uS_ {0} \}$
• ${\ displaystyle S ^ {d} = dS_ {0} \}$
• ${\ displaystyle p = {\ frac {(1 + r) ^ {T} -d} {ud}} \}$
• ${\ displaystyle (1-p) = {\ frac {u- (1 + r) ^ {T}} {ud}} \}$

Dette overføres til samtalen og setter verdi:

${\ displaystyle C_ {0} = {\ frac {pC ^ {u} + (1-p) C ^ {d}} {(1 + r) ^ {T}}} \}$

${\ displaystyle P_ {0} = {\ frac {pP ^ {u} + (1-p) P ^ {d}} {(1 + r) ^ {T}}} \}$

Flernivå binomialmodell for europeiske opsjoner

Denne modellen kan selvfølgelig forbedres ved å forkorte tidsintervallene og vurdere flere tidspunkter. Dette er en flerperiodemodell. I tillegg kan flere mulige stater også vurderes.

En binomial modell på flere nivåer tar hensyn til det faktum at aksjekursene kan endres mer enn en gang. Et handelsintervall (dag, time osv.) Gis med delta t. Det skilles mellom europeiske og amerikanske alternativer. Aksjekursene kan endres mer enn en gang. For å gjøre dette deler vi tiden opp i flere handelsintervaller . Den multi-level binomiske modellen er diskretisering av det Black-Scholes-modellen . Det er en av de mest brukte modellene innen finansmatematikk i dag .

I binomialmodellen på flere nivå skilles det mellom rekombinerende og ikke-rekombinerende trær . Ikke-rekombinerende trær kreves med stiavhengige alternativer.

For å oppnå dupliseringskarakteristikken, må omdisponeringen skje innenfor rammen av en egenfinansiert strategi.

eksempel

Binært alternativ, med utbetalinger på 1 i opptilstand og 0 i nedtilstand. ${\ displaystyle t = 1}$

Flere metoder kan brukes her: duplisering eller sikring.

Valg av å bruke risikonøytrale sannsynligheter som kan brukes videre.

${\ displaystyle (54q_ {0} +49 (1-q_ {0})) / (1 + r) = 50}$ (tilsvarer aksjekursen)

Hvert instrument kan vurderes ved bruk av risikonøytral sannsynlighet.

${\ displaystyle q_ {0} = {\ frac {50 (1 + r) -49} {54-49}} = 0 {,} 7}$

Beregning av og${\ displaystyle q_ {1} u}$${\ displaystyle q_ {1} d}$

${\ displaystyle q_ {1}, u = {\ frac {54 (1 + r) -52} {57-52}} = 0 {,} 94}$

${\ displaystyle q_ {1}, d = {\ frac {49 (1 + r) -48} {52-48}} = 0 {,} 8625}$

Desimaler 2: for prosent 4.

${\ displaystyle BC_ {0} = (1q_ {0}) / 1 + r = 0 {,} 67}$Vekting av utbetalinger med sannsynlighet (kan også tolkes som statspris )

Treningsegenskaper

Prinsipp for den dynamiske omdisponeringsstrategien

Med en dynamisk omfordelingsstrategi med bare to instrumenter kan hver betalingsprofil genereres på tidspunktet for oppfyllelsen. Et komplett marked opprettes ved hjelp av dynamiske handelsstrategier.

Rabatter

Kontantstrømmer som er underlagt risiko må diskonteres ved hjelp av den risikojusterte renten (f.eks. Ved bruk av CAPM- renten). Risikoen som er karakteristisk for en opsjon avhenger imidlertid av nivået på aksjekursen og gjenværende løpetid. Den risikojusterte renten er ; den eksakte funksjonen er ukjent. ${\ displaystyle f (S_ {t}, Tt)}$

Fra fullstendigheten av markedene følger det at man lokalt kan generere en risikofri portefølje av lange aksjer og korte anrop i hver node over tid. Nåverdien skyldes den risikofrie renten, som er den aktuelle renten her.

Treningsalternativer

For amerikanske opsjoner avhenger verdien av utøvelsestidspunktet og den da oppgitte aksjekursen.

Hvis det også utbetales utbytte, oppstår spørsmålet om å trene før eller etter utbyttedagen. Forutsetningen er at aksjekursen overstiger basisprisen kort tid før utbyttedagen. Utøvelsesverdien er aksjekursen før utbytte minus basisverdien, som er identisk med aksjekursen etter utbytte pluss utbytte minus basiskursen.

Hvis samtalen ikke utøves, tilsvarer den amerikanske samtalen verdien til den europeiske samtalen. Årsaken er at samtalen etter utbyttebetaling bare utøves på slutten (Hvorfor? Den nedre grensen for den europeiske anropsverdien (etter utbytteutbetaling) er kjent). Det er prisen uten utbytte minus basisprisen diskontert over gjenværende periode.

Hvis man sammenligner den første muligheten med den beregnede nedre grensen for den andre muligheten ...

Ingen hopp i alternativverdier

Vi vil vise at det ikke er noe hopp i opsjonsverdiene på utbyttedagen: Anropsverdien av aksjen før utbyttet utbetales er lik anropsverdien etter utbyttet.

Utbytterabatten er ingen overraskelse og er derfor allerede inkludert i samtaleprisene før utbetalingsdatoen.

Dette kan vises med motsetningsbevis:

Anropsprisen før distribusjon er større enn anropsprisen etter distribusjon. Så er det en arbitragestrategi :

Ved å inngå en kort posisjon i det europeiske anropet før distribusjonen og stenge posisjonen etter utdelingen, kan et overskudd som er større enn null realiseres. Den består av samtalen før utbetalingen minus samtalen etter utbetalingen, som ifølge antagelsen må være større enn null. Dermed kan ingen utbytteeffekt observeres med samtalen . I tilfelle av aksjen er det imidlertid en utbytterabatt.

Trener amerikanske putter

Kravet er at Black-Scholes-modellen er gyldig. Forventningen om at det vil være mulig i fremtiden.

Utbytte

Med diskrete utbytter utbetalt proporsjonalt til prisen, forblir treet rekombinerende. Selv om dette ikke modellerer det normale tilfellet, kan binomialtreet fortsatt kontrolleres numerisk.

Et resultat er at opsjonsverdien avhenger av treningsstrategien.

Glatt limingstilstand

Verdien av en europeisk put er alltid mindre enn den tilsvarende amerikanske puten. Verdien av en amerikansk put må også være større enn dens egenverdi . Den jevne limingstilstanden er en tilstand som garanterer at de første derivatene av de to likestilte funksjonene har samme skråning på det optimale tidspunktet for trening.

Se også

• Korn-Kreer-Lenssen-modell

litteratur

• Stefan Reitz: Matematikk i den moderne finansielle verden. Derivater, porteføljemodeller og vurderingsprosedyrer. Vieweg + Teubner Verlag, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-0943-8 , kapittel 3.
• Steven E. Shreve: Stokastisk beregning for økonomi I. Binomial Asset Pricing Model. Springer, New York 2005, ISBN 0-387-24968-0 .

Individuelle bevis

1. ^ John C. Cox, Stephen Ross, Mark Rubinstein: Option Pricing: A Simplified Approach. I: Journal of Financial Economics. Nr. 7, 1979, s. 229-263.