Benfords lov

Den Benford lov , også Newcomb Benford lov (NBL), beskriver en regelmessighet i fordelingen av de ledende sifre i tall i empiriske dataposter når de verdiene som har en tilstrekkelig stor spredningsbredde.

Loven kan overholdes, for eksempel i datasett om befolkningen i byer, mengder penger i regnskap, naturlige konstanter, etc. Kort sagt står det:

Jo lavere den numeriske verdien av en sekvens av sifre med en viss lengde på en bestemt posisjon i et tall, desto mer sannsynlig er det å forekomme. For eksempel gjelder følgende for de første sifrene i tall i desimalsystemet: Tall som begynner med 1 forekommer rundt 6,6 ganger så ofte som tall som begynner med 9.

oppdagelse

I 1881 ble denne loven oppdaget av astronomen og matematikeren Simon Newcomb og publisert i American Journal of Mathematics . Han hadde lagt merke til at i bøkene med loggbord som ble brukt, var sidene med tabeller med ett som første siffer betydelig skitnere enn de andre sidene fordi de tilsynelatende hadde blitt brukt oftere. Newcombs avis gikk ubemerket hen og hadde allerede blitt glemt da fysikeren Frank Benford (1883–1948) gjenoppdaget den samme loven og publiserte den igjen i 1938. Siden da har det blitt oppkalt etter ham, men nylig har navnet "Newcomb-Benfords Law" (NBL) også fått den opprinnelige oppdageren. Ikke mange statistikere var klar over eksistensen av en slik lov før den amerikanske matematikeren Theodore Hill prøvde å gjøre Benford-distribusjonen nyttig for å løse praktiske problemer, og dermed gjøre den mye bedre kjent.

Benford distribusjon

Benfords lov

Benfords lov sier at for tilfeldig gitte tall, tallet med sannsynlighet ${\ displaystyle d}$

${\ displaystyle p (d) = \ log _ {10} \ left (1 + {\ frac {1} {d}} \ right) = \ log _ {10} \ left (d + 1 \ right) - \ logg _ {10} \ venstre (d \ høyre)}$

vises som det første (ikke-null) sifferet i desimalrepresentasjonen av tallene.

Grafisk fremstilling

Benford lov slår fast i sin enkleste konsekvens at de ledende sifrene vises med følgende sannsynligheter :, eller ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle (d = 1, \ ldots, 9)}$${\ displaystyle \ log _ {10} (d + 1) - \ log _ {10} (d)}$

generalisering

Gitt et sett med tall som overholder Benfords lov. Deretter sannsynligheten for forekomsten av sifferet til basen på -th plass (teller fra begynnelsen, begynner med 0): ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle p_ {n} (d) = \ sum _ {k = \ lfloor B ^ {n-1} \ rfloor} ^ {B ^ {n} -1} \ log _ {B} \ left (1+ {\ frac {1} {k \ cdot B + d}} \ høyre)}$

hvor den gaussiske braketten betegner. ${\ displaystyle \ lfloor \ cdot \ rfloor}$

Spesielt for det første sifferet er formelen forenklet til

${\ displaystyle p (d) = p_ {0} (d) = \ log _ {B} \ left (1 + {\ frac {1} {d}} \ right) = \ log _ {B} \ left ( d + 1 \ høyre) - \ log _ {B} \ venstre (d \ høyre)}$

Det er lett å sjekke at summen av sannsynlighetene for alle de forskjellige sifrene på et bestemt punkt resulterer i 1, siden summen resulterer i en teleskopsum etter å ha brukt logaritmeloven som allerede er brukt ovenfor for det første punktet .

Gyldigheten til NBL

Et datasett er en Benford-variabel (det vil si Benfords lov gjelder dette datasettet) hvis mantissas til logaritmene til datasettet er jevnt fordelt innenfor grensene 0 til 1; dette er generelt tilfelle når avviket i datasettet ikke faller under en viss minimumsverdi, som er avhengig av distribusjonsklassen som logaritmene til datasettet fordeles etter.

Med Fibonacci-tallene (hvert Fibonacci-tall er summen av de to forgjengerne), resulterer de første sifrene i de første 30 tallene allerede i en fordeling som er utrolig nær en Benford-fordeling. Dette gjelder også lignende sekvenser med endrede startnumre (f.eks. Lucas-sekvensene ). Mange tallsekvenser følger Benfords lov, men mange andre gjør det ikke, så de er ikke Benford-variabler.

Hvorfor mange poster følger NBL

Relative frekvenser for de første sifrene 1 (rød) og 9 (blå) blant tallene fra 1 til n: Bare for n = 10 ^k  - 1 er de begge enige.

NBL gjelder reelle datasett (dette betyr de som ikke var gjenstand for manipulasjon) som er tilstrekkelig omfattende og har tall i størrelsesorden minst til, dvs. data som er ganske bredt spredt (spredt). Det står at sannsynligheten for forekomst av sifersekvensen i tallene ikke er jevnt fordelt, men følger logaritmiske lover. Dette betyr at sannsynligheten for forekomst av en sekvens av sifre, jo mindre er den når det gjelder verdi og jo lenger til venstre begynner den i tallet. Den vanligste er den innledende sekvensen "1" med teoretisk 30,103%. NBL er basert på den jevne fordelingen av mantissas av logaritmene til de numeriske verdiene til datasettet. Årsaken til den forbløffende brede gyldigheten til NBL er på grunn av det faktum at mange reelle datasett er logg-normalt distribuert , dvs. ikke frekvensene til selve dataene, men størrelsesorden av disse dataene følger en normalfordeling. Hvis spredningen av de normalt distribuerte logaritmene er tilstrekkelig bred (hvis standardavviket er minst omtrent lik 0,74), følger mantissene til logaritmene stabilt en jevn fordeling. Hvis standardavviket er mindre, er mantissene imidlertid også normalt fordelt, og NBL er ikke lenger gyldig, i det minste ikke i den enkle formen som vises. Hvis standardavviket er mindre enn 0,74, er effekten, som ikke er så vanlig i statistikken, at selv den respektive gjennomsnittsverdien av normalfordelingen av logaritmene påvirker hyppigheten av forekomsten av sifersekvensene. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle 10000x}$

Hvis man på den ene siden fortsetter fra NBL i sin nåværende form, er det mange datasett som ikke tilfredsstiller NBL. På den annen side er det allerede en formulering av NBL på en slik måte at alle datasett er tilstrekkelig for det.

Benfords lov gjelder særlig numerisk materiale som er underlagt naturlige vekstprosesser. Da endres tallene over tid og multipliserer. Mantissas første posisjon forblir på 1 i omtrent 30% av tiden, 18% av tiden på 2 osv.: Dette tilsvarer den logaritmiske fordelingen som Benfords lov forutsier og er uavhengig av tiden hvor en multiplikasjon han følger. Deretter starter syklusen på nytt klokka 1. Med et øyeblikksbilde av prisene på et supermarked, finner du akkurat denne fordelingen, uavhengig av når undersøkelsen blir utført.

Skala invarians

Dataposter med Newcomb-Benford distribuerte innledende sifre, multiplisert med en konstant, blir igjen Benford distribuert. Å multiplisere dataene med en konstant tilsvarer å legge til en konstant i logaritmene. Hvis dataene er tilstrekkelig bredt distribuert, endrer ikke dette fordelingen av mantissas.

Denne eiendommen forklarer direkte hvorfor Newcomb-Benfords lov gjelder selvangivelser, balanser osv., Eller generelt for dataposter der tallene representerer pengebeløp. Hvis det er en universelt gyldig fordeling av de første sifrene i slike datasett, må denne fordelingen være uavhengig av valutaen dataene er gitt i, og den universelle fordelingen må ikke endres på grunn av inflasjon. Begge betyr at fordelingen må være skala-invariant. Siden Newcomb-Benford-distribusjonen er den eneste som oppfyller denne betingelsen, må den derfor være denne.

Base invarians

Et datasett som tilfredsstiller Benfords lov på grunnlag B ₁ tilfredsstiller _også Benfords lov på grunnlag B ₂ . Mer spesifikt oppfyller et dekadisk datasett som oppfyller Benfords lov, også Benfords lov hvis de decadiske tallene blir konvertert til et annet tallsystem (f.eks. Til binært, oktalt eller heksadesimalt).

applikasjoner

Hvis ekte dataposter ikke er i samsvar med Benfords lov, til tross for at parametriske krav er oppfylt, i den grad antall forekomster av et visst antall avviker vesentlig fra forventningen spesifisert i Benfords lov, vil en sensor utsette de datapostene som begynner med dette nummer til en mer inngående analyse for å finne årsaken (e) til disse avvikene. Denne raske prosedyren kan føre til dypere kunnskap om det spesielle ved det undersøkte datasettet eller til påvisning av manipulasjoner under opprettelsen av data.

eksempel

Fordeling av de første sifrene i en tabell med 87 sifre (se tekst)

En tabell viser innhøstingsresultatene fra 2002 . I diagrammet indikerer de blå søylene frekvensen til de første sifrene i de 87 registrerte tallene. Benford-fordelingen vises som en rød linje. Det gjenspeiler fordelingen mye bedre enn en jevn fordeling (grønn linje). Til tross for det lille utvalget kan preferansen for små verdier sees i det første sifferet, samt en tendens til det andre sifferet.

Tabellen oppsummerer resultatene. Den første sifferkolonnen viser hvor ofte sifferet vises i første posisjon, Benford- kolonnen viser hvor ofte det forventes der i henhold til Benford-fordelingen. Det samme gjelder antall tall med det andre sifferet i 2. sifferkolonnen . Nummer 1 vises da i første posisjon 27 ganger, forventet 26,19 ganger. Nummer 4 kommer først 17 ganger, ifølge Benford skal det vises i gjennomsnitt 8,43 ganger.

Når verdien på sifferet synker, nærmer Benford-fordelingen som er gitt ovenfor den jevne fordelingen av sifrene mer og mer.

I Business

Benfords lov gjelder påvisning av svindel i utarbeidelsen av balansen, forfalskning av kontoer og generelt på rask oppdagelse av åpenbare uregelmessigheter i regnskapet. Med hjelp av Benford lov, bemerkelsesverdig “kreative” regnskap system på Enron og ble Worldcom avdekket, der ledelsen hadde snytt investorer ut av sine innskudd (→ hvit krage kriminalitet ). I dag bruker regnskapsførere og skatteetterforskere metoder basert på Benfords lov. Disse metodene representerer en viktig del av de matematiske-statistiske metodene som har vært brukt i flere år for å avdekke forfalskede kontoer, skatt og investorsvindel og generelt datasvindel. Det kan også vises at de ledende sifrene i markedsprisene også følger Benfords lov. Manipuleringen av Hellas økonomiske data kan også bevises ved bruk av Benfords lov.

I forskning

Benfords lov kan også hjelpe til med å oppdage forfalskning av data i vitenskapen. Det var datasett fra naturvitenskapen som førte til Benfords lov. Karl-Heinz Tödter fra Research Center of Deutsche Bundesbank brukte samme lov til å gjennomgå resultatene av 117 økonomiske papirer i et bidrag til den tyske økonomiske gjennomgangen .

valg

Ved hjelp av Benfords lov undersøkte statsvitere resultatene av flere føderale valg (fra 1990-2005) på valgkretsnivå, og av og til (4 tilfeller i 1500 tester) kom det over betydelige uregelmessigheter angående den første avstemningen. Imidlertid ble uregelmessigheter observert i 51 av 190 tester når vi så på andre avstemning, dvs. direkte partivalg.

Det var også indikasjoner på mulige forfalskninger i forbindelse med presidentvalget i Iran i 2009 .

Andre eksperter anser at Benfords lov har begrenset bruk for å undersøke valg.

Størrelse på byer i Tyskland

Fordeling av størrelsen på store tyske byer

Den rette figuren viser størrelsesfordelingen av tyske byer. Grafikken viser befolkningen i de 998 største byene. En Benford-analyse gir følgende frekvenser av de første sifrene:

Frekvensen til tallene 3 og 4 tilsvarer forventningen. I kontrast forekommer tallet 1 oftere. Avviket fra nummer 2 er spesielt uttalt på bekostning av nummer 7, 8 og 9, som sjelden observeres i utgangspunktet .

Dette eksemplet viser igjen at poster må oppfylle visse krav for å oppfylle NBL; dette datasettet gjør ikke dette. Årsaken til dette er begrensningen til byer, fordeling av alle kommuner bør resultere i en mer presis samsvar. I tillegg er det en naturlig minimum bosettingsstørrelse, og kommunesammenslåing har også innvirkning på fordelingen. Merkelig nok hører til og med om lag 50% av eksemplene som Benford siterte i sin publikasjon som bevis for NBL, klassen med dataposter som ikke har noen Benford-distribuerte innledende sifre, men snarere en omtrent lik fordeling av de første sifrene.

betydning

Hvor stort avviket fra den observerte fordelingen fra den teoretisk forventede fordelingen i det minste må være, slik at en begrunnet mistanke om manipulasjon kan betraktes som bekreftet, bestemmes ved hjelp av matematisk-statistiske metoder (f.eks. Chi-kvadrat-testen eller Kolmogorow -Smirnow test , "KS test"). For testen skal testen handle om tilfeldige avvik i det første sifferet, et utvalg fra 109 tall tilfredsstiller ( gjelder for alle ). Hvis prøvene er mye mindre, kan resultatene av chi-kvadrat-testen utfordres, og KS-testen kan være for tolerant. I et slikt tilfelle, f.eks. For eksempel kan en veldig kompleks, men nøyaktig test basert på multinomial fordeling brukes. I tillegg må dataene i datasettet være statistisk uavhengige av hverandre. (Derfor kan tall som Fibonacci-sekvensen ikke testes for betydning med chi-kvadratets godhet-av-pass-test, ettersom resultatet blir upålitelig.) ${\ displaystyle \ chi ^ {2}}$${\ displaystyle n \ cdot 0 {,} 046 \ geq 5}$${\ displaystyle n \ geq 109}$

Det at balanselister, fakturalister og lignende uttalelser oppfører seg i samsvar med Benfords lov, skyldes at flertallet av slike nummerserier er samlinger av tall som har gått gjennom en rekke aritmetiske prosesser og derfor oppfører seg som kvasi- tilfeldige tall . Hvis du lar forretnings- og bestillingsprosessene gå gratis, trer sjanselovene i kraft fra en viss forretningsstørrelse, og Benfords lov gjelder derfor også. Imidlertid, hvis disse tallene konsekvent påvirkes i løpet av en faktureringsperiode, ved ofte å foredle dem, få bestemte tall til å forsvinne eller oppfinne dem, eller til og med manipulere prosesser på grunn av gitte kompetansebegrensninger, blir tilfeldigheten merkbart forstyrret. Disse forstyrrelsene manifesterer seg i betydelige avvik fra den teoretisk forventede tallfordelingen.

I praksis blir det ofte funnet at de tradisjonelle signifikansetestene som brukes i Benford-analyser ikke er helt pålitelige. I tillegg er dataene til et datasett noen ganger ikke helt uavhengige av hverandre. B. kan ikke bruke chi-kvadrat-testen. Det arbeides med utvikling av signifikansetester som er bedre tilpasset NBL.

Eksempel: Hvis en ansatt har lov til å legge inn bestillinger på opptil EUR 1000 uten godkjenning fra ledelsen, og når tilbud er høyere enn EUR 1000, deler han ofte ordrene i flere mindre varer for å spare seg bryet med å få godkjenning , så vil du finne Benford -Distribusjon av ordren utgjør betydelige avvik fra den teoretiske forventningen.

Betydningstest for avvik fra Benford-fordelingen ved bruk av chi-kvadrat-testen

Imidlertid viser dette eksemplet også at statistiske metoder ikke kan avsløre individuelle uregelmessigheter. Det kreves en viss konsekvens av manipulasjonene . Jo større prøven er, jo mer følsom reagerer en signifikansetest generelt på manipulasjon.

Test for signifikante avvik

Benford-analyser antas å være den enkleste analysen av matematisk statistikk. Eksemplet nedenfor er resultatet av å telle de første sifrene i et utvalg på 109 summer fra en liste. De virkelige (observerte) telleresultatene sammenlignes med telleresultatene som kan forventes med 109 innledende sifre og undersøkt ved hjelp av en chi-kvadrat-test for å avgjøre om avvikene som er funnet kan være tilfeldige eller ikke lenger kan forklares ved tilfeldighet alene . I dette eksemplet antas det som et beslutningskriterium at over tilfeldighet skal antas hvis sannsynligheten for tilfeldig forekomst av den observerte fordelingen eller en minst like usannsynlig forekomst er mindre enn eller lik 5% ( statistisk test ). Siden i vårt eksempel 52% av alle distribusjoner har disse eller høyere avvik, vil en sensor ikke avvise hypotesen om at avvikene var forårsaket av tilfeldigheter .

Dybdegående Benford-analyser

Hvis det er veldig lange lister med flere tusen tall, kan en Benford-test ikke bare utføres med det første sifferet. En slik overflod av data gjør det mulig å sjekke 2., 3., totalt 1. + 2., muligens til og med totalt 1. + 2. + 3. siffer samtidig (for disse bør du imidlertid ha minst 11 500 tall, ellers chi-kvadrat-testen kan gi usikre resultater). Benford-distribusjoner eksisterer også for disse testene, selv om de er noe mer omfattende. Så z. B. den teoretiske forventningen om utseendet til de første sifrene 123… 0,35166%, mens bare 0,13508% av alle tall har de første sifrene 321….

Regelen gjelder alltid at jo lavere verdi på sifrene, jo mer følger de en lik fordeling . Cent-beløp følger en nesten nøyaktig lik fordeling, noe som betyr at den logaritmiske tilnærmingen generelt er unødvendig for cent-beløp. For meget små valutaer er tester for lik fordeling av delvis mynter mengder (z. B. kopeck -RUS, Heller CZ, fyllstoff-H, Koh-HR) uskarpt, som ofte er avrundet i praksis. Store valutaer (amerikanske dollar, pund sterling, euro) tillater vanligvis slike tester.

Estimering og planlegging av selskapets salg

Benfords lov kan også brukes til å estimere omsetningstallene til selskaper. Det antas at logaritmene til alle fakturabeløpene til et selskap følger omtrent en normalfordeling. De første sifrene i fakturabeløpene følger dermed Benford-fordelingen med en forventet verdi på rundt 3,91. Avstanden mellom logaritmen til den minste og logaritmen til det største fakturabeløpet representerer omtrent 6 ganger standardavviket til normalfordelingen av logaritmene. Med kunnskapen om det høyeste fakturabeløpet og antallet gyldige fakturaer som estimert omsetning består av, er et nyttig estimat av omsetningen mulig, som følgende eksempel fra praksis viser. Stedsverdien i tabellen angir tallet før desimaltegnet til logaritmen. Det faktiske salget var 3,2 millioner valutaenheter. Salgsestimater er imidlertid ikke alltid like nær det faktiske resultatet. Hvis antagelsen om normalfordeling for størrelsesordener ikke gjelder, må man velge en estimert fordeling som er mer lik den virkelige. I de fleste tilfeller følger størrelsesordrene på fakturabeløpene en logaritmisk normalfordeling .

Total salgsestimat

Selv om den faktiske fordelingen av fakturabeløpene tilfeldigvis bare sammenfaller med estimatet, blir summen av alle estimeringsfeil per stedverdi nesten alltid kompensert til et ganske lite beløp.

Denne metoden kan også brukes i sammenheng med planlegging av salg av selskaper for å kontrollere sannsynligheten for planlagt salg, som for det meste er et resultat av estimater og ekstrapoleringer av empiriske verdier fra salgsorienterte avdelinger, ved å bestemme hvor mange fakturaer som forventes å oppnå angitt salg hvor høyt det høyeste fakturabeløpet vil være. Denne analysen viser ofte at slike estimerte verdier, som planleggingen er basert på, ikke kan baseres på for mye. Benford-analysen gir deretter salgsavdelingen tilbakemeldinger for å korrigere forventningene sine basert på virkeligheten.

Hvis man antar at logaritmene til det enkelte salg er jevnt fordelt, er salget kvasi "logaritmisk jevnt fordelt". Tetthetsfunksjonen til salget har da et histogram som, gitt en passende klassifisering av fordelingen av sifersekvensene (f.eks. Ni klasser, sammenlignet med første siffer) ser veldig ut som Benford-fordelingen.

Generasjon av Benford distribuerte innledende sifre

Generering av praktisk talt tilfeldige tall med Benford-distribuerte innledende sifre er ganske enkelt med PC-en.

Jevnt fordelte tall

Funksjonen genererer tall med Benford distribuerte innledende sifre for . Her er et tilfeldig, jevnt fordelt positivt heltall fra et fast intervall, og er et jevnt fordelt tilfeldig tall mellom 0 og 1. ${\ displaystyle y = 10 ^ {k}}$${\ displaystyle k = r + s}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle s}$

Normalt distribuerte tall

For , med like jevnt fordelte tilfeldige variabler, genererer funksjonen tall med omtrent normalfordelte størrelsesordener av og Benford distribuerte innledende sifre. For praktiske formål bør det velges relativt høyt . Som det er , erkjenner man at fordelingen av tallene ligner formen på en lognormal fordeling når den avtar . Er de genererte innledende sifrene i tallene vanligvis ikke lenger Benford distribuert. For praktiske bruksområder er den store spredningen av størrelsesordene som firkanten til tangensfunksjonen  genererer - spesielt for store - i mange tilfeller ikke optimal. ${\ displaystyle y = r ^ {2} \ cdot \ tan ^ {2} (t)}$${\ displaystyle 0 \ leq t <{\ tfrac {1} {2}} \ pi}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle (r> 1000)}$${\ displaystyle r <1000}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle r <50}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle r}$

litteratur

• F. Benford: Loven om avvikende tall. I: Proceedings of the American Philosophical Society (Proc. Amer. Phil. Soc.). Philadelphia 78.1938, s. 551-572. ISSN  0003-049X
• Simon Newcomb : Merknad om hyppigheten av bruk av forskjellige sifre i naturlige tall. I: American journal of mathematics (Amer. J. Math.). Baltimore 4.1881, s. 39-40, ISSN  0002-9327 .
• Mark J. Nigrini: Påvisning av skatteunndragelse gjennom en analyse av digitale frekvenser. Avhandling. University of Cincinnati. UMI, Ann Arbor Mich 1992. (mikrofiche).
• Ian Stewart : Loven om det første sifferet. I: Spektrum der Wissenschaft , Heidelberg 1994.4 (apr.), S. 16 ff., ISSN  0170-2971 .
• H. Rafeld: Digital sifferanalyse med Benfords lov for revisjon av falske handlinger. Avhandling. Ravensburg University of Cooperative Education, Ravensburg 2003.
• Peter N. Posch: Sifferanalyse i teori og praksis - testprosedyre for å oppdage forfalskninger med Benfords lov. 2. utgave. Europeisk økonomi, Berlin 2005, ISBN 3-8322-4492-1 .
• Tarek el Sehity, Erik Hoelzl, Erich Kirchler: Prisutvikling etter et nominell sjokk, Benfords lov og psykologisk prising etter euroinnføringen . I: International Journal of Research in Marketing. 22 Amsterdam 2005, nr. 4, desember 2005, s. 471-480, doi: 10.1016 / j.ijresmar.2005.09.002 , ISSN  0167-8116 .
• S. Günnel, K.-H. Tödter: Holder Benfords lov i økonomisk forskning og prognoser? ( Memento av 17. oktober 2010 i Internet Archive ). (PDF) I: Deutsche Bundesbank Discussion Paper. Serie 1. Økonomiske studier. Frankfurt am Main 32/2007.
• H. Rafeld, F. Så Bergh: Digital sifferanalyse i tyske regnskapsdata. I: Journal Internal Revision , Berlin 42.2007,1, s. 26–33, ISSN  0044-3816 .
• Arno Berger, Theodore Hill: Benfords lov slår tilbake: ingen enkel forklaring i sikte på matematisk perle. I: Mathematical Intelligencer. 2011, nr. 1, s. 85-91.
• Arno Berger, Theodore Hill: Hva er Benfords lov? (PDF) AMS-merknader, februar 2017 (PDF; 126 kB).
• Ehrhard Behrends: Benfords lov eller hvorfor tallet 1 er oftere i begynnelsen. I: Verden . 4. april 2005.

weblenker

• Oversikt over Benfords lov og videre koblingssamling
• En didaktisk utarbeidet artikkel om Benfords lov. ( Memento fra 1. november 2012 i Internet Archive ).
• Eric W. Weisstein : Benfords lov . På: MathWorld (engelsk).
• Adrian Lobe: Med matematikk mot svindlere. I: Pressen. 9. september 2011.
• Brigitte Röthlein : Alle elsker en. ( Memento fra 25. november 2015 i Internet Archive ). I: Berliner-Zeitung.de. 15. juni 2007.
• Benford Online Bibliografi .
• Peter N. Posch: Loven om uvanlige tall . I: FiFo Ost , 25. august 2010.
• Testing av Benfords lov i OLAP-kuber . Beregning for Microsoft Analysis Services (engelsk).
• Kapittel 34: Forklaring av Benfords lov i The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing , Steven Smith, ISBN 978-0966017632

Individuelle bevis

1. ↑ Tarek el Sehity, Erik Hoelzl, Erich Kirchler: Prisutvikling etter et nominelt sjokk, Benfords lov og psykologisk prising etter euroinnføringen . I: International Journal of Research in Marketing , 22, Amsterdam 2005, nr. 4, desember 2005, s. 471-480, doi: 10.1016 / j.ijresmar.2005.09.002
2. ↑ TU Ilmenau beviser Hellas utro. Hentet 25. oktober 2011 . 
3. ↑ Hans Christian Müller: På jakt etter forfalskere. I: Handelsblatt , 30. november 2009.
4. ^ Christian Breunig, Achim Goerres: Søke etter valg uregelmessigheter i et etablert demokrati: Anvendelse av Benfords lovtester på Forbundsdagen valg i Det forente Tyskland . I: Electoral Studies (=  Special Symposium on the Politics of Economic Crisis ). teip 30 , nei 3 , 1. september 2011, s. 534-545 , doi : 10.1016 / j.electstud.2011.03.005 ( achimgoerres.de [PDF; åpnet 8. mai 2017]). achimgoerres.de ( Memento fra 8. august 2017 i Internet Archive ; PDF) 
5. ^ Boudewijn F. Roukema: Benfords lovavvik i det iranske presidentvalget i 2009 . arxiv : 0906.2789v1 . 
6. ↑ Joseph Deckert, Mikhail Myagkov og Peter C. Ordeshook: Irrelevansen i Benfords lov for å oppdage svindel ved valg. (PDF) Arbeidspapir nr. Caltech / MIT Voting Technology Project 9. 2010 ( på archive.org ( Memento fra 17. mai 2014 i Internet Archive )).
7. ^ Charles R. Tolle, Joanne L. Budzien, Randall A. LaViolette: Følger dynamiske systemer Benfords lov? I: Chaos , 10, 2, 2000, s. 331-336, doi: 10.1063 / 1.166498 .
8. ↑ Joseph Deckert, Mikhail Myagkov og Peter C. Ordeshook: Benfords lov og påvisning av valgsvindel . University of Oregon 97403 og California Institute of Technology 91124, 2011, åpnet 7. november 2020 (engelsk): “Med hensyn til Benfords lov kjenner vi til noen av forholdene som, hvis de er tilfredsstilt, gir tall i samsvar med den, men akkurat som det ikke er grunnlag for å anta at Ijiri-Simon-modellen av fast størrelse eller et empirisk forhold som gjelder for insekter og bystørrelser, gjelder for partier, kandidater eller noe annet politisk, er det ingen grunn til å anta på forhånd at forholdene er tilstrekkelige til å anledning sifre som samsvarer med 2BL, har nødvendigvis noen betydning for valg. " 
9. ↑ Siden er ikke lenger tilgjengelig , søk i nettarkiver:@1@ 2Mal: Toter Link / bevoelkerungsstatistik.de