Avrundingsfunksjon og avrundingsfunksjon

Den avrunding funksjon (også gulvet funksjon , heltall funksjon , heltallsdelen funksjon eller Entier Brace ) og tak funksjon er funksjoner som hver enkelt reelt tall med det nærmeste ikke er større eller ikke er mindre heltall assign. Notasjonen ble oppkalt etter Carl Friedrich Gauß , som introduserte symbolet for avrundingsfunksjonen i 1808. På slutten av 1900-tallet introduserte spredningen av Kenneth E. Iverson- notasjonen og (Engl. Floor "floor") også for gulvfunksjonen og ( English ceiling "ceiling") for takfunksjonen. På tysk refererer ordet Gaussian parentes vanligvis til den originale notasjonen som Gauss brukte uten ytterligere tillegg. For variantene introdusert av Iverson brukes begrepene nedre gaussisk brakett og øvre gaussisk brakett for å differensiere .${\ displaystyle \ left [x \ right]}$${\ displaystyle \ operatorname {etasje} (x)}$${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}$${\ displaystyle \ operatorname {ceil} (x)}$${\ displaystyle \ lceil x \ rceil}$

Tegnsett

Tegnene for avrundingsfunksjonen er videreutviklede firkantede parenteser og kan kodes som følger i de forskjellige miljøene:

I det LaTeX sats system , kan disse tegnene bli angitt som \lfloor, \rfloor, \lceilog i ligningsmodus \rceil.

Avrundingsfunksjon eller Gaussisk brakett

Avrundingsfunksjon eller Gaussisk brakettfunksjon

definisjon

For et reelt tall er det største heltallet som er mindre enn eller lik :${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor: = \ max \ {k \ in \ mathbb {Z} \ mid k \ leq x \}}$

Eksempler

• ${\ displaystyle \ lfloor 2 {,} 8 \ rfloor = 2}$
• ${\ displaystyle \ lfloor -2 {,} 8 \ rfloor = -3}$

  Merk at det ikke er omtrent det samme . Definisjonen krever ja , og det er det .${\ displaystyle \ lfloor -2 {,} 8 \ rfloor}$${\ displaystyle -2}$${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor \ leq x}$${\ displaystyle -2> -2 {,} 8}$

• ${\ displaystyle \ lfloor -2 {,} 2 \ rfloor = -3}$
• ${\ displaystyle \ lfloor 2 \ rfloor = 2}$

kjennetegn

• For alle sanne ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {Z}, x \ in \ mathbb {R}}$

  ${\ displaystyle k \ leq \ lfloor x \ rfloor \ Longleftrightarrow k \ leq x}$.

• Det gjelder alltid . Hvor er hvis og bare hvis er et helt tall.${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor \ leq x <\ lfloor x \ rfloor +1}$${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor = x}$${\ displaystyle x}$
• For hvert hele tall og hvert reelle tall gjelder ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle x}$

  ${\ displaystyle \ lfloor x + k \ rfloor = \ lfloor x \ rfloor + k}$.

• Følgende gjelder for alle reelle tall${\ displaystyle x, y}$

  ${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor + \ lfloor y \ rfloor \ leq \ lfloor x + y \ rfloor \ leq \ lfloor x \ rfloor + \ lfloor y \ rfloor +1}$.

• Følgende gjelder for hvert hele tall og hvert naturlige tall${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$

  ${\ displaystyle \ left \ lfloor {\ frac {k} {n}} \ right \ rfloor \ geq {\ frac {k-n + 1} {n}}}$.

• Avrundingsfunksjonen er idempotent : den gjelder

  ${\ displaystyle {\ bigl \ lfloor} \ lfloor x \ rfloor {\ bigr \ rfloor} = \ lfloor x \ rfloor}$.

• Hvis og er coprime naturlige tall, så gjelder ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$

  ${\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n-1} \ left \ lfloor {\ frac {jm} {n}} \ right \ rfloor = {\ frac {(m-1) (n-1) } {2}}}$.

• Avrundingsfunksjonen er ikke kontinuerlig , men over- halvkontinuerlig .
• For ikke-heltallige realer konvergerer Fourier-serien til den -periodiske funksjonen , og den holder ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor -x}$

  ${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor = x - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {\ pi}} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac { \ sin {(2k \ pi x)}} {k}}}$.

• Er og gjelder da . Det følger direkte at hvis , . Videre gjelder også .${\ displaystyle m \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$
  ${\ displaystyle \ left \ lfloor {\ frac {x + m} {n}} \ right \ rfloor = \ left \ lfloor {\ frac {\ lfloor x \ rfloor + m} {n}} \ right \ rfloor}$
  ${\ displaystyle m \ neq 0}$
  ${\ displaystyle \ left \ lfloor {\ frac {\ lfloor x / m \ rfloor} {n}} \ right \ rfloor = \ left \ lfloor {\ frac {x} {mn}} \ right \ rfloor}$
  
  ${\ displaystyle \ left \ lfloor {\ frac {m} {n}} \ right \ rfloor = \ left \ lceil {\ frac {m-n + 1} {n}} \ right \ rceil}$
• Følgende gjelder også for reelle tall${\ displaystyle x, y \ geq 0}$
  ${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor \ cdot \ lfloor y \ rfloor \ leq \ lfloor x \ cdot y \ rfloor}$

Avrundingsfunksjon

Avrundingsfunksjon

definisjon

For et reelt tall er det minste heltallet som er større enn eller lik .${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ lceil x \ rceil}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle \ lceil x \ rceil: = \ min \ {k \ in \ mathbb {Z} \ mid k \ geq x \}}$

Eksempler

• ${\ displaystyle \ lceil 2 {,} 8 \ rceil = 3}$
• ${\ displaystyle \ lceil 2 {,} 3 \ rceil = 3}$
• ${\ displaystyle \ lceil -2 {,} 8 \ rceil = -2}$
• ${\ displaystyle \ lceil 2 \ rceil = 2}$

kjennetegn

• Det gjelder analogt .
  ${\ displaystyle \ lceil \ lceil x \ rceil \ rceil = \ lceil x \ rceil}$
• Er og gjelder da . Det følger direkte at hvis , .${\ displaystyle m \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$
  ${\ displaystyle \ venstre \ lceil {\ frac {x + m} {n}} \ høyre \ rceil = \ venstre \ lceil {\ frac {\ lceil x \ rceil + m} {n}} \ høyre \ rceil}$
  ${\ displaystyle m \ neq 0}$
  ${\ displaystyle \ left \ lceil {\ frac {\ lceil x / m \ rceil} {n}} \ right \ rceil = \ left \ lceil {\ frac {x} {mn}} \ right \ rceil}$

Generelle egenskaper

Gaussiske parenteser og desimaler

Følgende gjelder for positive tall:

${\ displaystyle x = \ lfloor x \ rfloor + \ operatorname {frac} (x)}$

Funksjonen gir derved brøkdelen med .${\ displaystyle \ operatorname {frac} (x)}$${\ displaystyle 0 \ leq \ operatorname {frac} (x) <1}$

Forholdet mellom avrundingsfunksjonen

• Det er derfor alltid avrundingsfunksjonen er hentet fra den Gaussiske brakettfunksjonen ved
  ${\ displaystyle \ lceil x \ rceil + \ lfloor -x \ rfloor = 0}$
  
  ${\ displaystyle \ lceil x \ rceil = - \ lfloor -x \ rfloor}$
• Det er alltid
  ${\ displaystyle \ left \ lceil x \ right \ rceil \ leq y \ Longleftrightarrow x \ leq \ left \ lfloor y \ right \ rfloor}$
  ${\ displaystyle \ left \ lfloor x \ right \ rfloor <y \ Longleftrightarrow x <\ left \ lceil y \ right \ rceil}$
• Det følgende gjelder for hele tall :${\ displaystyle k}$
  ${\ displaystyle \ left \ lfloor {\ frac {k} {2}} \ right \ rfloor + \ left \ lceil {\ frac {k} {2}} \ right \ rceil = k}$

Kommersiell avrunding

Den kommersielle avrundingen til nærmeste hele tall kan også uttrykkes med disse funksjonene:

• ${\ displaystyle \ lfloor x + 0 {,} 5 \ rfloor}$ Til ${\ displaystyle x \ geq 0}$
• ${\ displaystyle \ lceil x-0 {,} 5 \ rceil}$ Til ${\ displaystyle x <0}$

Funksjonen leverer det samme resultatet, om enn med en noe mer komplisert formel, men uten saksforskjell angående argumentets tegn

• ${\ displaystyle \ lfloor | x | +0 {,} 5 \ rfloor \ cdot \ operatorname {sgn} (x)}$.

weblenker

• Eric W. Weisstein : Floor Function . På: MathWorld (engelsk).
• Eric W. Weisstein : Takfunksjon . På: MathWorld (engelsk).

Individuelle bevis

1. ↑ Tidligste bruk av funksjonsymboler : Inntil nylig har [x] vært standardsymbolet for den største heltallfunksjonen. Ifølge Grinstein (1970), "Bruken av brakettnotasjonen, som har ført til at noen forfattere har betegnet dette brakettfunksjonen , stammer fra Gauss (1808) arbeid i tallteori. Funksjonen er også referert til av Legendre som brukte den nå utdaterte notasjonen E (x). " Gauss-referansen er til Theorematis arithmetici demonstratio nova . Arbeidsvolum: Vol. 2 s. 5. (åpnet 25. juli 2009).
2. ^ Tidligst kjente bruksområder for noen av matematikkens ord (C) : Begrepene Ceiling Function og vises i Kenneth E. Iversons A Programming Language (1962, s. 12): “To funksjoner er definert: 1. gulvet i x ( eller integrert del av x) betegnet med og definert som det største heltallet som ikke overstiger x, 2. taket av x betegnet med og definert som det minste heltallet som ikke overskrides med x. " Dette var det første utseendet på begrepene og symbolene, ifølge RL Graham , DE Knuth & O. Patashnik Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (1989, s. 67). (åpnet 25. juli 2009).${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}$${\ displaystyle \ lceil x \ rceil}$
3. ^ Max Koecher: Klassisk elementæranalyse . Springer, 2013, ISBN 978-3-0348-5167-1 , s. 115
4. ^ Konrad Königsberger: Analyse 1 . Springer, 3. utgave, 2013, ISBN 978-3-642-97622-3 , s. 28
5. ↑ Jürgen Stor: Grunnleggende statistikk med R: Et program-orientert innføring i bruk av statistisk programvare R . Springer, 2010, ISBN 978-3-8348-1039-7 , s. 33-34